Enumere los elementos del subgrupo cíclico de$S_6$

Question

Lista de los elementos del subgrupo cíclico de $S_6$ generado por:

\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 5 \end{smallmatrix}

Mi libro de texto no menciona cómo hacerlo así que me decidí a investigar en internet y he encontrado esta respuesta:

[(1234)(56)]$^2$ = (1234)(56) * (1234)(56) = (13)(24)

[(1234)(56)]$^3$ = (13)(24) * (1234)(56) = (1432) (56)

[(1234)(56)]$^4$ = [(13)(24)]$^2$ = (1).

Así, <(1234)(56)> = {(1234)(56), (13)(24), (1432)(56), (1)}.

Así que estoy tratando de hacer sentido de esto y me he encontrado con esto:

Para [(1234)(56)]$^2$: \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \end{smallmatrix}

pero parece raro porque por la 4ª columna se podría pensar que sería 2 y la última columna sería de 6.

Así que ahora mi problema es: [(1234)(56)]$^2$ = (1234)(56) * (1234)(56) = (13)(24) ¿cómo surgió la persona llega (13)(24)

Es porque usted tiene:

1-3 3-5 5-1

y ya que estamos de vuelta en 1, a continuación, sólo hemos incluido (13)

como para (24) 2-4 4-6 6-2

ya llegamos a los 2, a continuación, sólo tenemos (24)

Si es así, entonces estoy bastante bien con eso, pero luego me sale completamente bajar de aquí:

[(1234)(56)]$^3$ = (13)(24) * (1234)(56) = (1432) (56)

Entiendo que se puede reescribir:

[(1234)(56)]$^2$ [(1234)(56)]=(13)(24) * (1234)(56)

pero, ¿cómo podemos obtener (1432) (56)?

Así que, me decidí a subir con la permutación:

Para [(1234)(56)]$^3$: \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 6 & 5 & 2 & 3 \end{smallmatrix}

que no me ayuda a menos que lo hice mal. Entonces, ¿cómo la persona se ponga [(1234)(56)]$^3$=(1432) (56) ?

Answer 1

Hagamos $ [(1234)(56)]$ primer:

Usted tiene:

$$\begin{matrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 3& 4& 1& 6& 5\\ \end{de la matriz} $$

Ahora para $ [(1234)(56)]^2$:

$1$ $2$ , y, a continuación,$2$$3$. Por lo $1 \to 3$.

$2$ $3$ , e $3$$4$, lo $2 \to 4$.

$3$ $4$ , e $4$$1$, lo $3 \to 1$.

$4$ $1$ , e $4$$2$, lo $4 \to 2$.

$5$ $6$ , e $6$$5$, lo $5 \to 5$.

$6$ $5$ , e $5$$6$, lo $6 \to 6$.

Poner esto juntos da $[(13)(24)]$, ya que el $5$ $6$ no cambian.