¿Grupo de Galois de un polinomio irreducible, separable sea abeliano, entonces cada una de las raíces del polinomio genera el campo división?

Question

Deje $f(x)\in k[x]$ ser una irreductible , separables polinomio , vamos a $E$ ser la división de campo de la $f(x)$, $E/k$ es una extensión de Galois . Si $Gal(E/k)$ es abelian entonces, ¿es verdad que $E=k(a)$ por cada raíz $a$$f(x)$ ?

Mi Intento : Como $G:=Gal(E/k)$ es normal lo que para cualquier raíz de $a$ de $f(x)$ , $k(a)$ es de Galois sobre $k$ , entonces si $H:=Gal(E/k(a))$$|H|=[E:k(a)]$$[G:H]=Gal(k(a)/k)=[k(a):k]=n$ . También , como $n:=\deg f =[k(a):k]|[E:k]=|G| $ , e $G$ es abelian , por lo $G$ tiene un subgrupo $K$ orden $n$ , vamos a $F$ ser el campo fijo de $H$, $E/F$ $F/k$ son Galois y $[E:F]=|K|=n$ . Pero esto no conduce a ninguna parte .

Por favor ayuda

Answer 1

La prueba va como sigue:

$\operatorname{Gal}(E/k)$ Es abelian, cualquier subgrupo es normal, por lo tanto es normal que cualquier campo intermedio de $E/k$. En particular $k(a)/k$ es normal y por la definición de una extensión normal, sigue que contiene todas las raíces de $f$ $k(a)$. Por lo tanto, $E=k(a)$.

Answer 2

$f$ Es irreducible, el grupo de Galois es transitivo en las raíces.
En un grupo de la permutación conmutativa transitiva, cualquier $x$, $Stab_G(x) = {id}$:

Que $x$ ser una raíz. Si fija de un elemento $g$ $x$ y $y$ es otra raíz, entonces hay un $h$ tal que $h(x)=y$% y tan $g(y) = gh(x) = hg(x) = h(x) = y$. Por lo tanto, si fija el $g$ $x$, fija cada raíz y así $g$ debe ser la identidad.

Esto muestra que el $k(x) = E^{Stab_G(x)} = E^{{id}} = E$