Demostrar que, % $ $$\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}^2 = n\binom{2n-1}{n-1}$por determinar de dos maneras diferentes, el número de maneras que un Comité puede ser elegido de un grupo de hombres de $n$ y $n$ mujeres. Dicho Comité tiene una mujer como Presidente y $n − 1$ otros miembros.
¿Por qué es $k$ $[1,n]$? ¿Por qué es el coeficiente binomial de energía $2$?
Respuestas
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Especially Lime
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51
Queremos seleccionar un comité de $n$ personas con una presidenta.
Primer enfoque: se elige cuántas mujeres hay en el comité, decir $k$. Elegimos entre las $n$ mujeres tenemos en $\binom{n}{k}$ maneras. Elegimos $n-k$ hombres para completar el comité, entre las $n$ tenemos, en $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$ maneras. Al menos, podemos elegir la presidenta entre las mujeres seleccionadas. El primer enfoque conduce a $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}^2$.
Segundo método: se elige la presidenta ($n$ formas para hacer esto), a continuación, $n-1$ personas para completar el comité, de los restantes $2n-1$. Esto conduce a $n\binom{2n}{n-1}$.
Conclusión: $$\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}^2 = n\binom{2n-1}{n-1}.$$
Ramil
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550
Otro método que no implica combinatoria sería el siguiente. Tenga en cuenta que $$\dfrac{k}{n}\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}$ $ por lo tanto, basta probar que $$\sum\limits{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k} = \binom{2n-1}{n-1}$ $ o, equivalente, $$\sum\limits{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}\binom{n}{n-k} = \binom{2n-1}{n-1}$ $ pero es cierto de hecho porque el lado derecho es el coeficiente de antes de la $x^{n-1}$ $(1+x)^{2n-1}$ y LHS es exactamente lo mismo, pero computado de una manera diferente: % $ $$(1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^n = \left(\sum\limits{m=0}^{n-1}\binom{n-1}{m}x^{m}\right) \cdot \left(\sum\limits{m=0}^{n}\binom{n}{m}x^{m}\right)$en la expresión por encima de él puede ser visto claramente th en el coeficiente antes sólo una suma de productos de los coeficientes antes de % de $x^{n-1}$ $x^{k-1}$y $x^{n-k}$ ($k = 1..n$). Que termina la prueba.
