"Cerca de analítico", pero "no del todo", funciona en los números complejos.

Question

He oído hablar de una manera en que uno puede decir que una determinada función compleja es "cerca de la analítica", es decir, si su Wirtinger parcial $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ es pequeña, lo que significa que "depende sólo un poco en $\bar{z}$".

Por lo que se puede considerar una especie de función compleja que es más general que la analítica (aquí, significa "todo") funciones: a saber, cuando la $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ es acotado, y la función es real suave todo el mundo. Así que mi pregunta es: ¿se puede conseguir de "analítica" "bump función"-al igual que los objetos de esta manera? Es decir, podemos hacer una función con soporte compacto en el plano complejo, real suave, y cuyas $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ está cerca, pero no es cero, a través del dominio, es decir, $\left| \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \right| < \epsilon$ todos los $z$ en el dominio, y algunos de los verdaderos $\epsilon > 0$ que es lo suficientemente pequeño? Si no, ¿cuál es la razón y la prueba? Si sí, ¿qué pasa cuando reducimos $\epsilon$ a 0? Lo que la última parte significa, cuál es el comportamiento de una función con parámetros (o la función de la familia) $f_\epsilon(z)$ $\epsilon > 0$ donde como una función de la $z$ cumple con los criterios dados y su Wirtinger $\bar{z}$-es parcial, limitada por $\epsilon$$\epsilon \rightarrow 0$? Mi conjetura es que la protuberancia se pone más plano (es decir, $\max |f_\epsilon(z)|$ se hace más pequeño). Esto es correcto, o siempre tiene la razón? Si el golpe se pone más plano, entonces, que implica la existencia de una limitación de la amplitud para un determinado $\epsilon$? Si es así, ¿qué es? ¿Qué sucede si se considera una familia para un soporte fijo?

Answer 1

Dado un $C^\infty$ función de $g$ con soporte compacto en $\mathbb C$, no siempre existe una $C^\infty$ función de $f$ $\mathbb C$ con $$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=g .$$ This is the special case $n=1$ de un teorema en el complejo análisis de varias variables debido a Dolbeault y Grothendieck.
Usted puede encontrar una prueba de la variable de caso en Forster admirable libro de Conferencias sobre las Superficies de Riemann, en la página 104.
En el ejercicio 13.3 página 108 Forster estados que por otra parte usted puede encontrar una $f$ que también tiene soporte compacto iff para todos los $n\in \mathbb N$ $$\iint _\mathbb C z^n g(z)dz\wedge d\bar z =0$ $

Answer 2

Cauchy generalizado fórmula sostiene que para que un $C^1$ mapa de los estados : $$f(z)= \frac{1}{2i\pi} \int_{|z-\zeta|=1} \frac{d\zeta}{z-\zeta} + \frac{1}{2i\pi} \int_{|z-\zeta| \leq 1} \frac{\overline{\partial}f}{z-\zeta} |d\zeta|^2$$

Por lo tanto, para un suave golpe función como usted menciona, usted conseguirá el $\max |f_\epsilon| =O(\| \overline{\partial}f \|_{L^1} ) = O(\epsilon).$

En una nota relacionada (aunque no es exactamente lo que usted pidió, pero puede resultar de interés ): el llamado Alhfors-Bers teorema dice que si se puede elegir cualquier mesurable delimitada mapa de $\mu : \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{C}$$\|\mu\|_\infty \leq 1$, no existe un único (hasta la composición con una transformación de Möbius) homeomorphism $f_\mu$ tal que $f_\mu$ satisface la denominada ecuación de Beltrami (en el sentido de las distribuciones) :
$$\overline{\partial} f_\mu = \mu \partial f_\mu$$

Estos mapas son llamados quasiconformal, y que conservan algo de la rigidez de la conformación de los mapas. Ver Gardiner y Lakic, "Quasiconformal teoría de Teichmüller".