Deje que X e Y sean variables aleatorias con pdf conjunto$f(x,y)=x+y$ para$0<x<1$ y$0<y<1$. ¿Son X e Y independientes? Mi corazón dice que sí, pero mi matemática dice que no.

Question

Estoy usando el hecho de que $X$ $Y$ son independientes si y sólo si $f_X(x)f_Y(y)=f(x,y)$. Por lo que tengo

$$f_{X} (x)=\int_{0}^{1}f(x,y)dy\\=\int_{0}^{1}x+ydy\\=[xy+\frac{y^{2}}{2}]_{y=0}^{y=1}\\=x+\frac{1}{2}$$

y, básicamente, por exactamente las mismas matemáticas, $f_Y(y)=y+\frac{1}{2}$. A continuación, $$f_X(x)f_y(y)=(x+\frac{1}{2})(y+\frac{1}{2})=xy+\frac{1}{2}(x+y)+\frac{1}{4}\ne f(x,y)$$

Y por lo tanto no son independientes. Pero puede que sea cierto? ¿Por qué el valor de X tiene nada que ver con el valor de Y? No es como uno es una función de la otra.

O he hecho un simple error? Miré a través de un par de veces y estoy bastante seguro de que mis matemáticas es...

Answer 1

Tenga en cuenta que la densidad condicional f (x | y) depende de y. f (x | y) = f (x, y) / f (y).

Mostraste que f (y) = y +1/2 yf (x, y) = x + y. Entonces f (x | y) = (x + y) / (y +1/2)

para cualquier 0 <= x <= 1 y 0 <= y <= 1.

Claramente, no es independiente de y. Así que saber y sí suma la probabilidad de que X se encuentre en un intervalo fijo sobre x.

Answer 2

No hay error aquí. Estas variables no son independientes.

Answer 3

X e y son independientes, como se ha demostrado. Recuerde que estamos hablando de la estadística de la independencia. Una condición necesaria y suficiente para la independencia estadística es que la articulación de la función de distribución acumulativa factores como $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y)$. Si la articulación PDF existe, entonces, un equivalente condición es lo que has dicho.

En este problema, todavía podemos elegir los valores de $X$ $Y$ de forma independiente para evaluar la articulación PDF o en cualquier otra función de estas dos variables aleatorias. Pero $X$ $Y$ son estadísticamente dependientes, por definición.

Como regla general: Estadística de la dependencia $\not\implies$ la dependencia funcional y la dependencia funcional $\not\implies$ estadística de la dependencia. Un famoso ejemplo de esto último es el caso de la media de la muestra y la varianza de $N$ independientes, idénticamente distribuidas (IID) de Gauss variables aleatorias . La varianza de la muestra es funcionalmente dependiente de la media de la muestra, pero son estadísticamente independientes.

Answer 4

Tu derecho También puede verificar$E[XY]=E[X]E[Y]$ para la condición de independencia. Esto puede ser más claro porque los valores esperados son constantes. Además, la independencia se interpreta como que incluso si conoce el resultado$X=x$, no puede usar eso para adivinar$Y$:$f(Y|X)=f(Y)$. Para$f(x,y)=x+y$, si conoce$X=x$, tiene una mejor idea de qué$Y$ será. Por ejemplo, si$X=0.1$ o$X=0.5$, la probabilidad de$Y=0.5$ en estas dos condiciones es diferente.