Una paradoja que se me ocurrió, verificación de pruebas.

Question

Me pregunto si lo siguiente es correcto? Esta es mi solución a la siguiente paradoja. $$R = \{x : x \text{ not within }x,\,\text{where }x\text{ is a set}\}.$$ Ya que por la naturaleza del argumento de Russell, obtenemos una contradicción del hecho de que si $R$ no contenía $R$ entonces $R$ en $R$ , como $R$ no está dentro de $R$ de nuestra suposición. Alternativamente, si $R$ estaba en $R$ entonces tendríamos una contradicción con respecto a la definición de $R$ .

Así que mi solución simple es que $R$ no puede existir. Ya que la contradicción surge de la premisa anterior, de que tal conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos existe. Sólo asumimos (la única premisa), la existencia de $R$ en nuestro argumento.

En última instancia, esto equivale a la idea de que no puede haber un conjunto de todos los conjuntos o un conjunto de todos los conjuntos que no se contengan a sí mismos. La palabra clave es todos, lo que causa problemas cuando no se restringe un conjunto a que pueda manejar muchos conjuntos diferentes. A lo que me refiero principalmente es a la potencia continua de los conjuntos que seguirían necesitando ser añadidos después de cada inserción de un conjunto en el conjunto de todos los conjuntos.

¿Qué opina math.stackexchange?

Answer 1

Versión corta: sí, básicamente tienes razón. La paradoja de Russell puede ser interpretada como una teorema que el axioma completo de la comprensión (para cada fórmula-con-parámetros, hay un conjunto de todos los conjuntos que satisfacen esa fórmula) es inconsistente.

Su idea de "fijación continua de la potencia" se parece mucho a la jerarquía acumulativa la idea detrás de la teoría de conjuntos ZFC.

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Obsérvese que hay una sutileza en este caso: nosotros puede tienen un conjunto universal, siempre que la separación (una versión local de la comprensión - para cada fórmula-con-parámetros y cada conjunto $A$ existe un conjunto de todos los elementos de $A$ satisfacer la fórmula) no siempre funciona. Esta es la situación de las teorías de conjuntos como NFU, en las que la comprensión (y por tanto la separación) está restringida a fórmulas de una determinada forma sintáctica, y " $x\not\in x$ " no es una de ellas.

Answer 2

La contradicción surge en un primer intento de axiomatizar la teoría de conjuntos a principios del siglo XX. Utilizando esa teoría de conjuntos, se podía demostrar que $R$ hace existir (por comprensión irrestricta), y, como lo hizo aquí, que no puede existe. Por lo tanto, de esa teoría de conjuntos podrían derivarse dos teoremas contradictorios, algo que no es bueno.

A lo largo de los años se han propuesto varios parches, siendo el más utilizado (por los teóricos del conjunto) el Axiomas ZFC para la teoría de conjuntos.