Cohomology de una gavilla de funciones localmente constante a lo largo de una foliación

Question

Tomar una suave colector $M^n$ con un suave foliación $F$. Considere la posibilidad de la gavilla $\cal F$ $C^{\infty}$ funciones $M^n$, localmente constante a lo largo de la foliación $F$. Lo que se sabe acerca de Chech cohomology de una gavilla?

Estoy bastante seguro de que esta pregunta se ha estudiado (y tal vez incluso tiene una respuesta completa), pero no sé de referencia.

De manera más específica la pregunta es: ¿qué pasa cuando $F$ 1-dimensional, dada por la integral de trayectorias de un no-desaparición de campo vectorial? O más concretamente, supongamos $H^1(M^n)=0$ y consideramos que Matar a un campo de vectores $v$ $M^n$ ($v$ es la preservación de una métrica). Es cierto que el la gavilla de las funciones de $\cal F$ localmente constante a lo largo de las trayectorias de $v$ es acíclicos? (necesitamos $H^1(M^n)=0$, de lo contrario $S^1$ será una evidente contraejemplo).

Un ejemplo de una foliación. Considerar la unidad de la esfera de $S^3$ $\mathbb C^2$ y conisder la acción de la $\mathbb R$ a través de la diagonal de las matrices : $(z,w)\to (e^{ita}z, e^{itb}w)$ $\frac{a}{b}$ irracional.

Answer 1

Nikita Markarian acabo de explicar para mí (si es que hay un error de más abajo, que es la mía), que la última y más pregunta específica sobre acyclicity tiene un 100% de respuesta negativa. Es decir, podemos considerar el caso $M^3=S^3$ ($H^1(S^3)=0$) y la foliación está dada por las fibras de la Hopf fibration $S^3\to S^2$. En esta caza de la gavilla de funciones localmente constante en las fibras tiene dos términos de la resolución (por soft poleas). El primer término está dado por todas las funciones en $S^3$ y el segundo por $1$formularios en $S^3$, restringido a las fibras. El diferencial es sólo el diferencial a lo largo de las fibras. En este caso es claro, que la primera cohomology es enorme, es programable por todas las funciones sobre la base de la $S^2$.

Por lo que esta condición de $H^1(M^n)=0$ no ayuda en absoluto.

Es un buen ejercicio para aplicar el mismo razonamiento a la otra foliación en $S^3$, descritos en la pregunta.

Answer 2

Esto puede no ser exactamente lo que usted está buscando, pero su pregunta sonó una campana especial: a saber, el papel En la relación de Rham secuencia por Buchdahl, que yo leía cuando era un estudiante de posgrado, y que he usado en mi propia investigación. Mi motivación en el momento, para entender los llamados clásicos BRST cohomology, que es un homológica enfoque simpléctica de reducción. Este procedimiento es un subquotient, cuyo último paso es el cociente de la "superficie de restricción" por una foliación definida por la integral submanifolds de los campos vectoriales hamiltonianos correspondiente a la "primera restricciones de clase". (El caso clásico es cuando las restricciones son los componentes de un equivariant impulso de asignación, pero el caso general de primera clase restricciones sólo los rendimientos de una foliación de los cuales no se podría fibra). Uno está interesado, por tanto, en las funciones que son localmente constante en las hojas de la foliación. Esto puede ser identificado con el cero de Cech cohomology de los complejos de "formas verticales", que es un caso especial de la relación de Rham complejo de Buchdahl.

Answer 3

Yo también estoy muy interesado en "Lo que se sabe acerca de Chech cohomology de una gavilla?", así que si tienes más información que yo estaría interesado.

Una multa y torsionless resolución está dada por foliada ("tangencial" se utiliza a veces para referirse a ella) cohomology.

Transversal de las estructuras proporciona una gran cantidad de información.

Más relacionado con lo que dijo Chris acerca de $M/\mathcal{F}$ es Básico cohomology de foliadas colectores. Básica cohomology puede ser de infinitas dimensiones, por lo que puede o no puede satisfacer a un Poincarè la dualidad. Parece estar bien cubierta en la literatura de la de riemann foliación caso.

Answer 4

Yo soy de unirse a la discusión un poco tarde, pero permítanme añadir un ejemplo. Si usted se considera un suave mínima acción de Z en el círculo S^1 la suspensión da un flujo en el toro. Si la acción es C^2 conjugado a un irracional rotación, entonces el transversal básica cohomology es finito dimensionales. Pero si la acción es sólo topológicamente conjugadas a una rotación, entonces el básico cohomology puede ser infinito. La literatura sobre este tema es de hace mucho tiempo, en la década de 1970, tal vez. aquí es una referencia

Haefliger, A. y Banghe, Li Las corrientes en un círculo invariante por un Fuchsian grupo. Geométrica dinámica (Río de Janeiro, 1981), 369-378, Notas de la Conferencia en Matemáticas., 1007, Springer, Berlin, 1983.

Aquí es más reciente artículo

Ávila, Artur y Kocsard, Alejandro Cohomological ecuaciones y distribuciones invariantes para un mínimo de círculo diffeomorphisms. El Duque De Matemáticas. J. 158 (2011), no. 3, 501-536.

y hay un artículo que es probable relación con la pregunta

Lott, Juan Invariantes de las corrientes en el límite de los conjuntos. Comentario. De matemáticas. Helv. 75 (2000), no. 2, 319-350.