Tengo una pregunta que respecta a la prueba de la Goldstine teorema, que la imagen de la unidad de la bola de $B_X$ de algún espacio de Banach $X$ es denso en la unidad de la bola de $B_{X^{**}}$ de su bidual bajo el canónica de la incorporación de la $X$ a $X^{**}$. La prueba a la que me refiero es tomado textualmente de la Wikipedia en inglés:
Dado un $x^{**} \in B_{X^{**}}$, una tupla $(\phi_1, \dots, \phi_n)$ de los linealmente independientes elementos de $X^*$ $\delta>0$ vamos a encontrar una $x \in (1+\delta) B_{X}$ tal que $\phi_i(x)=x^{**}(\phi_i)$ por cada $i=1,\dots,n$. Si el requisito de $||x|| \leq 1+\delta$ se cae, la existencia de una $x$ sigue de la surjectivity de $\Phi : X \to \mathbb{C}^{n}, x \mapsto (\phi_1(x), \dots, \phi_n(x)).$ Vamos ahora a $Y = \cap_{i} \ker \phi_i = \ker \Phi$. Cada elemento de a $x+Y \cap (1+\delta) B_{X}$ tiene la propiedad requerida, por lo que es suficiente para mostrar que el último conjunto es no vacío. Suponga que está vacía. A continuación,$\mathrm{dist}(x,Y) \geq 1+\delta$, y en el de Hahn-Banach teorema existe una forma lineal $\phi \in X^*$ tal que $\phi|_{Y}=0$, $\phi(x) \geq 1+\delta$ y $||\phi||_{X^*}=1$. A continuación, $\phi \in \mathrm{span}(\phi_1, \dots, \phi_n)$ y por lo tanto $$1+\delta \leq \phi(x) = x^{**}(\phi) \leq ||\phi||_{X^*} ||x^{**}||_{X^{**}} \leq 1,$$
Estoy de acuerdo con la mayoría de las pruebas, sin embargo, tengo un problema con uno de los últimos pasos, a saber por qué o cómo se sigue que $\phi \in \mathrm{span}(\phi_1, \dots, \phi_n)$. Muchos serán los funcionales que cumplan con las condiciones anteriores $\phi|_{Y}=0$, $\phi(x) \geq 1+\delta$ y $||\phi||_{X^*}=1$, pero no se en $\mathrm{span}(\phi_1, \dots, \phi_n)$. E. g. Creo que podría construir por Hahn-Banach también funcional $\psi$ que tiene un kernel $\ker \psi\supsetneq\ker \Phi$ y cumple con $\psi(x) \geq 1+\delta$$||\psi||_{X^*}=1$, pero no se en $\mathrm{span}(\phi_1, \dots, \phi_n)$, dado que el núcleo es un estricto superconjunto. Hay algo que falta en el argumento o estoy equivocado aquí?
