¿Por qué se define una fuerza conservativa como el gradiente negativo de un potencial?

Question

Ahora mismo estoy aprendiendo sobre el trabajo en mi clase de dinámica. Hemos definido el trabajo sobre una partícula debido al campo de fuerza del punto A al punto B como la Integral de la curva sobre el campo de fuerza del punto A al B. De matemáticas sé que si un campo vectorial tiene un potencial, sólo necesitamos evaluar el potencial en el punto B menos el potencial en el punto A para obtener el resultado de la Integral de la curva. En el texto que estoy leyendo, se explica que si la integral sobre un campo de fuerza es independiente de la trayectoria, entonces el campo de fuerza $F = -{\rm grad}(V)$ donde $V$ es el potencial. ¿Por qué se define como el gradiente negativo? ¿No se determina el potencial a partir de $F$ matemáticamente. ¿Por qué imponemos el signo al potencial?

Answer 1

Introducimos el signo menos para equiparar el concepto matemático de potencial con el concepto físico de energía potencial.

Tomemos como ejemplo el campo gravitatorio, que consideramos constante cerca de la superficie de la Tierra. El campo de fuerzas puede describirse mediante $\vec{F}(x,y,z)=-mg\hat{e_z}$ tomando la dirección arriba/abajo como el $z$ dirección. El potencial matemático $V$ sería $V(x,y,z) = -mgz+\text{Constant}$ y satisfaría $\nabla V=\vec{F}$ . Esto se correspondería con la disminución de la altura aumentando la energía potencial lo que nos haría tener que redefinir la energía mecánica como $T-V$ para mantener la conservación.

En lugar de redefinir la energía mecánica, introducimos el signo menos $\vec{F} = -\nabla V$ que equipara la noción física de energía potencial con la noción matemática de potencial escalar.

Answer 2

Si la fuerza resultante que actúa en un cuerpo viene dada por menos el gradiente de potencial se puede demostrar que $\frac{dE}{dt} = 0$ . Donde E es la energía total de la partícula. Así que la energía total, kinect + potencial se conserva.

En el caso unidimensional:

$\frac{dE}{dt}=\frac{d(\frac{1}{2}mv^2+V(x))}{dt}=mv\dot{v}+\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}$

$=v(ma + \frac{dV}{dx})$

Answer 3

Resuelto: Lea las páginas 9-10 de este documento (bajo el título Fuerzas conservadoras y conservación de la energía). Se define como - $\nabla$ V para que la energía se conserve. Lee la demostración y hacia el último paso verás que hay que definirlo así para que la energía mecánica se conserve. A mí me ha funcionado y estoy seguro de que a ti también.

Answer 4

La respuesta que habéis dado es correcta, pero es de formación matemática. Físicamente, la fuerza conservativa es una fuerza disipativa. Debido a las propiedades de disipación que la derecha como gradiente de potencial y el signo negativo proviene de su dirección opuesta de acción.