¿Qué es una sección?

Question

Esta pregunta viene de las respuestas a Ho Chung Siu la pregunta acerca de vector de paquetes. Basado en mi lectura, parece que la definición de la expresión "de la sección" pasó por varias fases de la generalidad, comenzando con el vector de paquetes y terminando con cualquier derecho inversa. Así que es cierto que estoy un poco confundido acerca de cuál es el nivel de generalidad es el más útil.

Algunas preguntas específicas:

• ¿Por qué podemos pensar de las secciones de un paquete en un espacio generalizado de las funciones en el espacio? (Estoy siendo intencionalmente vaga sobre el tipo de paquete y el tipo de espacio.)
• ¿Cuál es la relación entre las secciones de un paquete y secciones de una gavilla?
• ¿Cómo debo pensar inversos en general? Me esencialmente sólo tiene intuición para el conjunto de la teoría de derecho inversa.

Punteros a los recursos en lugar de respuestas también sería genial.

Answer 1

A tu primera pregunta, "función en un espacio" $X$ generalmente significa que una de morfismos de $X$ a uno de los varios "espacios de tierra" de la opción, por ejemplo los reales si usted trabaja con un suave colectores, Spec(A) si usted trabaja con esquemas más de un anillo, etc. (Esto es bastante selectivo uso de la palabra "función", que se utiliza para confundir a mí.) Una sección de $\gamma$ de un (algún tipo de) paquete de $E\to X$ es considerado como un "generalizada de la función" $X$ por pensar en ello como una funcion con "diferentes codominio", es decir, en cada punto de $x\in X$, se toma el valor de la fibra
$E_x\to x$. Si uno está hablando localmente libre / localmente trivial paquetes, lo que significa $E$ es localmente (a través de los conjuntos de
$U\subset X$) isomorfo a algún producto $U\times T$, entonces podemos localmente identificar las fibras con $T$. Por lo tanto localmente una sección sólo se parece a una función con codominio $T$, que a menudo se requiere para ser agradable.

A tu segunda pregunta, yo por lo general a tomar el "derecho a la inversa" o "pre-inversa" de la definición de la categoría de teoría, porque se relaciona con los demás, de la siguiente manera precisa:

Decir $\pi: Y\to X$ es un espacio de más de $X$ (intentionaly vagos). La palabra "más" se usa para activar la tradición de la supresión de la referencia al mapa de $\pi$ y refiriéndonos lugar para el dominio $Y$. Para $U\subseteq X$ abierto, la notación $\Gamma(U,Y)$ denota secciones del mapa $\pi$ $U$ , es decir, mapas $U\to Y$ de manera tal que la composición de la $U \to Y\to X$ es la identidad (lo que necesariamente aterrizaje de vuelta en $U$). No es difícil ver que
$\Gamma(-,Y)$ realidad constituye una gavilla por primicia de los conjuntos en $X$.

Por el contrario, dado alguna gavilla de conjuntos de $F$ en un espacio de $X$, uno puede formar su espace étalé, topológico, espacio de más de $X$, decir $\pi: \acute{E}t(F) \to X$. A continuación, para abrir el $U\subseteq X$, los elementos de $F(U)$ corresponden precisamente a las secciones del mapa $\pi$, que por encima de la notación se escribe $\Gamma(U,\acute{E}t(F)$. Es decir,
$F(-)\simeq\Gamma(-,\acute{E}t(F))$ como gavillas en $X$. Esto explica por qué la gente a menudo se refieren a la gavilla de elementos como "secciones" de la gavilla.

Por otra parte, lo que ahora se denotan por $\acute{E}t(F)$ en realidad solía ser la definición de una gavilla, por lo que la gente tiende a identificar a los dos y escribir $\Gamma(-,F)$ un lugar de $\Gamma(-,\acute{E}t(F))$. Esto se explica por el contrario extraña tradición de la escritura $\Gamma(U,F)$, en lugar del más compacto de la notación $F(U)$.

$\Big($Lamentable lingüística advertencia: Muchas personas usan incorrectamente el término "étale espacio". Sin embargo, la palabra francesa "étalé" significa "spread", mientras que "étale" (sin el segundo acento) significa "calma", y que no estaban destinados a ser utilizados indistintamente en matemáticas. Esto es desafortunado, porque el espace étalé tiene muy poco que con étale cohomology. Más lamentable es la molesta coincidencia que cuando se trata con los esquemas de la proyección del mapa de la espace étalé pasa a ser un étale de morfismos, porque es localmente en su dominio un isomorfismo de esquemas, mucho más fuerte de condición.$\Big)$

A su tercera pregunta, creo que la observación de que $\Gamma(-,Y)$ forma una gavilla en $X$ le da un buen contexto en el que pensar en secciones $X$$Y$: "viven en" la gavilla $\Gamma(-,Y)$ como su definidos globalmente los elementos.

Answer 2

Una sección de un paquete de $B$ durante un espacio de $S$ es sólo un mapa de $\sigma: S \rightarrow B$ tal que para cada $x \in S$, $\sigma(x) \in B_x$, donde $B_x$ es la fibra a $x$.

Funciones corresponden al caso en que la base es el dominio $D$ y el paquete es $D \times R$ donde $R$ es el rango. En ese sentido, las secciones son funciones generales.

La noción de una sección de una gavilla es esencialmente el mismo, pero tiene que ser adaptado de forma adecuada.

A mí me parece que cualquier referencia que define un vector paquete o una gavilla podría explicar esto. Supongo que yo recomendaría a cualquier introducción moderna a las superficies de Riemann, donde hay un mínimo de maquinaria y complicación. Aunque yo no trabajo con superficies de Riemann, he encontrado divertido para aprender acerca de ellos, porque tienen las ventajas de ser 1-dimensional, pero tienen la rica estructura de 2-dimensiones del objeto.

Answer 3

Si $\pi: E \to M$ es un paquete de más de un espacio topológico $M$, se puede definir una gavilla en $M$ que asocia a cada conjunto abierto $U \subseteq M$ el conjunto de las secciones más, es decir, los mapas de $\sigma: U \to E$ tal que $\pi \circ \sigma = \mathrm{id}_{U}$. A la inversa, dada una gavilla $\mathcal{F}$ $M$ usted puede construir un espacio topológico tal que su $\mathcal{F}$ es su gavilla de las secciones. Esta página de la Wikipedia, tiene algo de información sobre ella. Usted también será capaz de buscar información sobre cualquier libro de introducción a una geometría algebraica (por ejemplo, Hartshorne).

Answer 4

Los paquetes son generalmente definidos como localmente trivial thingamajigs. Un trivial de un paquete con fibra de $F$ parece el mapa de proyección $U \times F \to U$. Una sección de un trivial paquete es sólo una función $U \to F$. Una función global en el colector es el mismo que el de un montón de funciones locales que, literalmente, están de acuerdo en las coincidencias. Del mismo modo una sección global de un paquete es el mismo que el de un montón de secciones locales (que, de nuevo, son funciones) que "de acuerdo" en la solapa, donde ahora "de acuerdo" no significa, literalmente, de acuerdo, pero "de acuerdo, después de una vuelta de tuerca", donde los "giros" viene de la transición de las funciones del vector paquete.

Siempre que tenemos un paquete, podemos formar una gavilla de ella. La correspondiente gavilla es la que los mapas de open ajusta $U$ para el conjunto de las secciones del paquete de más de $U$. Por el contrario, si tenemos una gavilla en un espacio de $X$, es posible construir un espacio de $Y$ y un mapa de la $Y \to X$ de manera tal que las "secciones" de la gavilla corresponden a la secciones del mapa $Y \to X$. Esto se llama el espace étalé y se discute aquí y en algún lugar en Hartshorne capítulo II sección 1.

Usted también puede estar interesado en buscar en Hartshorne capítulo II ejercicio 5.18.