Modificado Dirichlet no-función differentiability

Question

Necesito algunas ideas para empezar con este problema. Muestran que la función de Dirichlet modificada definida como $D_M(x)=\begin{cases}0&\mbox{if }x \notin \mathbb{Q} , \ \frac{1}{b}&\mbox{for } x = \frac{a}{b} \mbox {with}\gcd(a,b) = 1\;.\end{cases}$

No es diferenciable para ningún $x_0 \in(c,d)\subset\mathbb{R}$

Answer 1

Solo necesitamos comprobar esto de los números irracionales (ya que son puntos de continuidad).

Así que vamos a $x_0\notin\mathbb Q$. Nos preguntamos si el límite $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ existe.

Ahora, si $x\notin\mathbb Q$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$.

Para racionales utilizamos Dirichlet del teorema de aproximación: Para un determinado irracional $x_0$, la desigualdad $$\left| x_0 -\frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}$$ es satisfecho por un número infinito de números enteros p y q.

Ahora, para los que recibieron $\varepsilon>0$, se puede elegir q tal que $\frac1{q^2}<\varepsilon$ e lo $\left| x_0 -\frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2} < \varepsilon$.

Para $x=\frac pq$ tenemos $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| = \frac{\frac1q}{\left|x_0 -\frac{p}{q}\right|} > \frac{\frac1q}{\frac1{q^2}} = q.$$

Esto demuestra que $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ es ilimitado en cualquier barrio de $x_0$ (desde $q$ puede ser elegido arbitrariamente alta).

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Después de responder a la pregunta traté de google para diferenciable "thomae de la función". Ya el primer resultado proporciona el siguiente artículo contiene una mucho más simple prueba:

• Kevin Beanland, James W. Roberts y Craig Stevenson: Modificaciones de Thomae de la Función y la diferenciabilidad, La American Mathematical Monthly, Vol. 116, Nº 6 (Jun. - Jul., 2009), pp 531-535. enlace al autor del blog, jstor.

(He visto que no necesitan grandes denominadores, que me recordó de Dirichlet y que pasa por alto la forma más sencilla.)

Un poco más tarde me he dado cuenta de que la simple prueba fue sugerido ya en uno de joriki comentarios, que he pasado por alto.

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Creo que vale la pena mencionar los diferentes nombres que se usan para esta función (personalmente, me gustan las palomitas de maíz de la función) - cito de la Wikipedia:

Thomae la función de nombre después de que Carl Johannes Thomae, también conocido como las palomitas de maíz función, la función de las gotas de lluvia, la regla de la función, la de Riemann de la función o de las Estrellas sobre Babilonia (por John Horton Conway) es una modificación de la función de Dirichlet.