La estructura del grupo de curva elíptica $\mathbb F_p$

Question

Quiero encontrar el grupo de la curva elíptica $y^2=x^3-x$ $\mathbb F_p$ % primos todos $p \le 29$. Pero sé que sólo 1 hecho sobre la estructura de este grupo: $E(\mathbb F_p)=\mathbb Z/m \mathbb Z \times \mathbb Z/nm\mathbb Z$ $\gcd (m,p)=1, p =1 \mod m$. Realmente no ayuda. ¿Hay ningún método para encontrar el grupo sin cálculo enorme?

Answer 1

La curva elíptica $E:y^2=x^3-x$ tiene discriminante $\Delta=64$, por lo que sólo tiene malos reducción en $p=2$. Para cualquier otro $p>2$, la curva tiene buena reducción y $E/\mathbb{F}_p$ es una curva elíptica, en particular, $E(\mathbb{F}_p)$ es de un número finito de abelian grupo.

Tomemos por ejemplo la $p=5$. Usted puede encontrar fácilmente todos los puntos de $E$$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$, y comprobar que no se $8$ puntos (contando el punto en el infinito). Desde $E(\mathbb{F}_5)$ es finito abelian de orden $8$, debe ser isomorfo a $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, o $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. La primera posibilidad no es realmente posible, porque el $q$ torsión de una curva elíptica (para cualquier prime $q$) está formado por la suma directa de, al menos, dos grupos cíclicos de orden $q$ (es decir, $E[q]\subseteq \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$). Ahora es cuestión de identificar a $E(\mathbb{F}_5)$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, y usted puede probar que, de hecho,$E(\mathbb{F}_5)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, encontrando $3$ distintos puntos de la orden exacto $2$ (si el grupo se $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ no sería sólo un punto de orden exacto $2$).

Del mismo modo, cuando se $p=11$, puede recuento $E(\mathbb{F}_{11})$ y ver que hay $12$ puntos (no olvides el punto en el infinito!). Ahora las posibles clases de isomorfismo se $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, y usted puede probar que $E(\mathbb{F}_{11})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ encontrando $3$ distintos puntos de la orden de $2$.

Answer 2

Tenga en cuenta que el punto en el infinito, junto con los puntos de $(-1,0),(0,0),(1,0)$ forman un subgrupo de $ E(\Bbb Q)$ isomorfo a $(\Bbb Z/2\Bbb Z)^2$, se encuentra este subgrupo en $E(\Bbb F_p)$ cualquier $p > 2$.

Por otra parte, la curva que tiene complejo de la multiplicación (por $i : (x,y) \mapsto (-x,iy)$), por lo que mucho se puede decir a través de la explícita la clase de teoría de campo para $\Bbb Q(i)$.

Si $p \equiv 3 \pmod 4$, el número de puntos en $E(\Bbb F_p)$$p+1$. Ya que no hay ningún factor primo en común entre el$p+1$$p-1$, excepto posiblemente $2$, y sabemos que $\Bbb (\Bbb Z/2\Bbb Z)^2$ es un subgrupo, pero no se $(\Bbb Z/4\Bbb Z)^2$ (debido a $p-1 \equiv 2 \pmod 4$), debemos tener $E(\Bbb F_p) \approx (\Bbb Z/2\Bbb Z) \times (\Bbb Z/\frac{p+1}2\Bbb Z)$.

Los puntos de $(i,1-i),(i,-1+i),(-i,1+i),(-i,-1-i)$ con la anterior de cuatro forman un subgrupo de orden $8$ $E(\Bbb Q(i))$ (isomorfo a $(\Bbb Z/2\Bbb Z) \times (\Bbb Z/4\Bbb Z)$), por lo que este subgrupo estará siempre presente en $E(\Bbb F_p)$ $p \equiv 1 \pmod 4$

Si $p \equiv 1 \pmod 4$, entonces no hay una única manera de escribir $p = (a+ib)(a-ib)$$a+ib \equiv 1 \pmod {2+2i}$. A continuación, $\# E(\Bbb F_p) = p+1-2a$, e $E(\Bbb F_p)$ contiene un factor de $(\Bbb Z/m\Bbb Z)^2$ si y sólo si $(a,b) \equiv (1,0) \pmod m$ (el Frobenius automorphism $Frob_p$ actúa en $E(\overline{\Bbb F_p})$ parece mucho a la de la multiplicación por $a+ib$ lo hace en el torus $\Bbb Q[i] / \Bbb Z[i]$).

Answer 3

Para variedad, podemos calcular $E(\mathbf{F}_3)$ utilizando el teorema de Hasse, que dice tiene entre $4 - 2\sqrt{3}$ y $4 + 2\sqrt{3}$: por lo que es en algún lugar de $1$ $7$ puntos.

Debido a que la curva tiene tres puntos de orden $2$, $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ debe ser un subgrupo. Y así debe ser todo el grupo, ya que es de la orden sólo posible grupo divisible por $4$ $4$ sí mismo.