Verificación de la prueba sobre el supremum de un conjunto.

Question

Dado un conjunto de decir $A$ = {$ x\over(x+7)$|$x \in \mathbb{R^+}$}

Donde

$x\over(x+7)$ = 1 - $7\over(x+7)$ $\lt 1$

Por lo tanto $1$ es un límite superior de $A$.

Método de $1$.

Considere la posibilidad de $SupA = \alpha$ donde $\alpha \lt 1$

$x \ge 0$ todos los $x \in \mathbb{R^+}$

$\therefore$ $x+7\ge7$

$\therefore$ $(1-\alpha)(x+7)\gt7$

$\therefore 1-\alpha\gt$ $7\over(x+7)$

$\therefore -\alpha\gt$$-1 + $$7\over(x+7)$

$\therefore \alpha \lt 1 - $$7\over(x+7)$

Por lo tanto $\alpha \lt $$x\over(x+7)$

Por lo tanto, $\alpha$ no es una cota superior de a $A$ y, por tanto, $SupA = 1$

Método de $2.$

Para $SupA = 1$ a ser cierto lo siguiente debe mantener para cualquier arbitrario $\epsilon \gt 0$

$ 1 - \epsilon \lt A^{'}$ algunos $A^{'} \in A$

es decir,$1 - \epsilon \lt $$x\over(x+7)$ para algunos $x\in \mathbb{R^+}$

Tomar $x+7 \gt $$7\over \epsilon$

$\therefore \epsilon \gt $$7\over(x+7)$

$\therefore -\epsilon \lt $-$7\over(x+7)$

$\therefore 1-\epsilon \lt 1-$$7\over(x+7)$

Por lo tanto $1-\epsilon \lt $$x\over(x+7)$ para algunos $x \in \mathbb{R^+}$

Por lo tanto, $SupA = 1$

Son cualquiera de estos métodos de prueba de supremum correcta? Si ambos, que es mejor? Si no, ¿cómo lo hago?

Nota: por favor, disculpe pobres de formato, no han aprendido cómo hacerlo todavía

Answer 1

El segundo método se ve bien.

El primer método es incorrecta. Usted escribió $x+7\ge 7$ y, a continuación, $$(1-\alpha)(x+7)>7$ $ Ese es tu error.

Nota: Si usted sabe cómo el $\sup$ se caracteriza por los límites de las secuencias, a continuación, se puede mostrar fácilmente su resultado con el hecho de que $$\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+7}=1$$

Editar Por su curiosidad: Si $A$ es superior en el limitado conjunto no vacío y $s\in\mathbb{R}$, para mostrar que $s=\sup A$ puede simplemente mostrar que $s$ es un-límite superior de $A$ y que existe una secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de los elementos de la $A$ (i.e $\forall n\in\mathbb{N},a_n\in A$) tal que $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=s$. Eso es porque si una secuencia existe, significa que $$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\ge N,s-\varepsilon<a_n\le 1$$ and in particular $s-\varepsilon<a_N$ with $a_N\en$. In fact, you can also prove that if $s=\sup{A}$, a continuación, una secuencia existe.

Answer 2

Su primer método tiene un gran defecto: la de $x+7\ge7$ que no se siga que $$ (1-\alpha)(x+7)\ge7 $$ Por ejemplo, si $\alpha=1/2$$x=1$, $$ (1-\alpha)(x+7)=\frac{1}{2}\cdot8=4<7 $$

De hecho, con esta declaración falsa, la conclusión de que la $\alpha<x/(x+7)$ por cada $x\in\mathbb{R}^+$, lo cual es ciertamente falsa al $0<\alpha<1$.

Lo que quiero demostrar es que el $\alpha<x/(x+7)$ (al menos) una $x\in\mathbb{R}^+$. La desigualdad es equivalente a $\alpha<1-\frac{7}{x+7}$, que es $$ \frac{7}{x+7}<1-\alpha $$ o $$ x>\frac{7}{1-\alpha}-7=\frac{7\alpha}{1-\alpha} $$ que sin duda es satisfecho para algunos (en realidad infinitamente muchos) $x\in\mathbb{R}^+$.

El segundo método es esencialmente el mismo: para $\varepsilon>0$ quieres ver que existe $x\in\mathbb{R}^+$ tal que $$ 1-\varepsilon<\frac{x}{x+7} $$ que es $$ \varepsilon>\frac{7}{x+7} $$ eso es el equivalente a $$ x>\frac{7}{\varepsilon}-7 $$ Así, tomando los $x=7/\varepsilon$ está hecho.

También hay un tercer método, en este caso.

Claramente, cualquier $\alpha\le0$ no es una cota superior para el conjunto de $A$. Suponga $0<\alpha<1$: nos muestran que $$ \frac{1+\alpha}{2}\en Un $$ De hecho $$ \frac{1+\alpha}{2}=\frac{x}{x+7} $$ se convierte en $$ (1+\alpha)x+7(1+\alpha)=2x $$ que es $$ x=\frac{7(1+\alpha)}{1-\alpha}\in\mathbb{R}^+ $$ Desde $\alpha<\frac{1+\alpha}{2}$, llegamos a la conclusión de $\alpha$ no es una cota superior para $A$.