Evaluación de $\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{1+x^2}dx$

Question

Estoy tratando de evaluar $$\int_0^{\infty}\dfrac{e^{-x}}{1+x^2}dx$$ Al hacer la sustitución $x=\tan\theta$ , $$\int_0^{\infty}\dfrac{e^{-x}}{1+x^2}dx=\int_0^{\frac \pi 2}\exp(-\tan\theta)d\theta$$ Así que converge a algo menor que $\frac \pi 2$ . ¿Existe alguna forma de hallar el valor exacto utilizando únicamente métodos elementales?

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios y en la respuesta de Xiaolang, es muy poco probable que esta integral tenga una solución cerrada en términos de funciones elementales, pero es posible expresarla en términos de integrales exponenciales o, equivalentemente, integrales seno y coseno. Difícilmente pueden considerarse "métodos elementales", pero al menos podemos eliminar las integrales seno y coseno utilizando sus expansiones en serie de potencias.

Comenzamos con la representación en términos de las integrales del coseno y del seno $\operatorname{Ci}$ y $\operatorname{Si}$ : $$\begin{align} \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x^2} &= \operatorname{Ci}(1)\sin(1) - \operatorname{Si}(1)\cos(1)+\frac{\pi \cos(1)}{2},\\\ \\ \operatorname{Ci}(x) &= \gamma + \ln(x) +\int_0^x \frac{\cos(t)-1}{t}dt, \\\ \\ \operatorname{Si}(x) &= \int_0^x \frac{\sin(t)}{t}dt, \end{align}$$ où $\gamma=0.577\ldots$ es la constante de Euler-Mascheroni. Las expansiones en serie de potencias para $\operatorname{Ci}(x)$ y $\operatorname{Si}(x)$ se deducen directamente de sus definiciones en términos de senos y cosenos: $$\begin{align} \operatorname{Ci}(x) &= \gamma + \ln(x) + \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^{j+1}x^{2j+2}}{(2j+2)!(2j+2)},\\\ \\ \operatorname{Si}(x) &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^jx^{2j+1}}{(2j+1)!(2j+1)}. \end{align}$$ Sustituyendo $x=1$ en estas expresiones, aplicando las expansiones en serie de potencias para $\sin(1)$ y $\cos(1)$ donde se multiplican $\operatorname{Ci}(1)$ y $\operatorname{Si}(1)$ y haciendo una cantidad no despreciable de aritmética, encontramos: $$\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x^2} = \gamma \sin(1) + \frac{\pi\cos(1)}{2} + \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{f(j-k)}{j(j!)(k!)}. \tag{$ \estrella $}$$ Aquí la función $f(j-k)$ es la secuencia $0,-1,0,1,\ldots$ : $$\begin{align} f(j-k) &= 0\ \ \quad \textrm{if}\quad j-k\equiv 0\ (\operatorname{mod} 4)\\ &= -1\ \ \ \,\textrm{if}\quad j-k\equiv 1\ (\operatorname{mod} 4)\\ &= 0\ \ \quad \textrm{if}\quad j-k\equiv 2\ (\operatorname{mod} 4)\\ &= 1\ \ \quad \textrm{if}\quad j-k\equiv 3\ (\operatorname{mod} 4).\\ \end{align}$$ Es evidente que la Ec. $(\star)$ converge rápidamente, considerando las funciones factoriales en el denominador del sumando. En efecto, incluyendo sólo 25 términos (5 valores para cada índice), obtenemos 0,621..., coherente con el resultado 0,621449... citado anteriormente.

Answer 2

Puede que no haya una función elemental, pero no es fácil de demostrar, puede consultar la teoría de Liouville en análisis complejo.

pero puedes obtener una aproximación (WolframAlpha puede ayudarte)

$$\int_0^{\pi/2}e^{\tan(\theta)}d\theta= \operatorname{Ci}(1)\sin(1)- \operatorname{Si}(1)\cos(1)+\pi \cos(1)/2 \approx 0.62144962423581335763926$$