En $\triangle ABC$, I es el Incentro. Zona de $\triangle IBC = 28$, área de $\triangle ICA= 30$ y $\triangle IAB = 26$. Encontrar $AC^2 − AB^2$

Question

En $\triangle ABC$, I es el incentro. Área de $\triangle IBC = 28$, área de $\triangle ICA = 30$ y el área de $\triangle IAB = 26$. Encontrar $AC^2 − AB^2$.

Aquí es un boceto que me atrajo:
De áreas ,
$r*AC=60$
$r*AB=52$
$r*BC=56$
Así que tengo tres ecuaciones con 4 incógnitas . También,
$A=rs$
$2A=168=r(AB+BC+AC)$
Pero esto no puede ser utilizado como puede ser derivada de las otras tres ecuaciones. Así que, ¿qué debo hacer? Todas las sugerencias son apreciada. (Esta no es la clase de tarea , yo estoy de problemas ejemplos de preguntas para un examen competitivo )

Answer 1

tomamos nota de $AC=b,BC=a,AB=c$, encontramos $b^2-c^2$. Tenemos $$ar=56,br=60,cr=52.$ $ entonces tenemos el porcentaje de $a$ y $b,c$: $$b=\frac{60}{56}a,c=\frac{52}{56}a$ $ entonces tenemos la igualdad: $$a=\frac{56}{112}(b+c)=\frac{1}{2}(b+c)$ $ $$a=\frac{56}{8}(b-c)=7(b-c)$ $ ahora debemos recordar la fórmula del área del triángulo: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, donde $p=\frac{a+b+c}{2}$ entonces tenemos $$84=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}}\=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]}\=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)^2-\frac{1}{4}(b+c)^2][49(b-c)^2-(b-c)^2]}\=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{4}(b+c)^2\cdot48(b-c)^2}\\frac{3}{2}|b^2-c^2|\=\frac{3}{2}(b^2-c^2)$$(because $b > c$).

entonces tenemos lo que queremos.

Answer 2

Una observación sobre la solvencia de la pregunta: se le $ra=56,rb=60,rc=52$ (con la notaciones generalmente $r$ el inradio, $a=BC$, etcetera). Por lo tanto se deduce que el triángulo $ABC$ es similar al triángulo $\Delta=(56,60,52)$ con escala ratio $r$.

Puede encontrar la zona de $ABC$ sumando las áreas de los tres triángulos y utilice el hecho de que $r^2 Area(ABC)=Area(\Delta)$ (se puede calcular $Area(\Delta)$). Esto le da $r$, y por lo tanto puede encontrar $a,b,c$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $b=\frac{15a}{14}$, $c=\frac{13a}{14}$. Así, $s=\frac{14a+13a+15a}{2\cdot14}=\frac{3a}2$. Por Heron formula, $$84=\sqrt{\frac{3a^2}4\cdot \frac{3a}7\cdot \frac{4a}7}=\frac{6a^2}{14}$ $

Así, $a^2=14^2$ y $a=14$. Ahora se puede hacer desde aquí.