teoría de grupos, cardinalidad de un grupo cociente

Question

Dejemos que $H$ sea cualquier grupo abeliano finito. Definir $H^n=\lbrace x^n \text{ }|\text{ }x\in H\rbrace$ . Es fácil ver que $H^n$ es un subgrupo de $H$ . También es fácil ver que $H^n\subseteq H^d$ si $d\text{ }|\text{ }n$ .

¿Es cierto que todos los subgrupos que contienen $H^n$ son de la forma $H^d$ para algún divisor de $n$ ?

Además, podemos decir que $|H/H^n|\leq n$ ?

Answer 1

Si $\;H=\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2\;$ entonces $\;H^2=\{(0,0)\}\;$ y el subgrupo $\;K=\{\,(0,0),\,(1,1)\,\}\le H\;$ no es de la forma $\;H^d\;$ , para $\;d=1,2\;$ .

Para la segunda parte: tomar $\;H=\Bbb Z_2\times\Bbb Z_4\;$ y $\;H^4=\{(0,0)\}\;$ pero

$$\left|H/H^n\right|=|H|=8>4$$

Answer 2

En el caso $ H$ cíclico finito con $n\leq \mid H\mid $ el primera afirmación está bien, porque $H=\langle x \rangle$ y $H^n=\langle x^n \rangle\subseteq K=\langle x^d\rangle$ aplique que $n=md$ así que $d\mid n$ . pero en el caso abeliano no cíclico, la afirmación es falsa (los contraejemplos que se dan arriba en comentario y en la respuesta).Aquí se deduce un contraejemplo, al examinando lo que ocurre en el grupo abeliano factorizado grupo abeliano como producto de subgrupo cíclico: $H=Z/p^2Z\times Z/p^2Z$ y $n=p$ entonces $H^p=Z/pZ\times Z/pZ$ si nos fijamos en $K=Z/p^2Z\times Z/pZ$ entonces tenemos $H^p\subseteq K$ pero $K$ no puede escribir como $H^d$ (nota: para cada composante de $K$ hay una d en este ejemplo $d_1=p$ para el primer compositor y $d_2=1$ para el segundo composante). La segunda afirmación también es cierta en el caso cíclico porque para cualquier $n$ el orden de $x^n$ es $gcd(n,order(x))$ y así $ \mid H/H^n\mid =gcd(n,order(x))\leq n$ . También examinando la situación en el caso abeliano no cíclico vemos para cualquier $n$ que $ \mid H/H^n\mid $ se incrementa en $n^s$ donde $s$ es el número de factores cíclicos en la factorización de $H$ como producto del subgrupo cíclico.

como contraejemplo solo tachar $H=Z/pZ\times Z/pZ$ si $n=p$ entonces $ \mid H/H^p\mid=p^2 >p=n$ .