¿Al leer a través de varias notas con función holomorfa, me encontré con esta pregunta (aparentemente inocente) que me llamó la atención: si es holomorfa en un dominio $f(z)$ $D \subset \mathbb{C}$ $\sqrt{f(z)}$ deben una rama apunte a cada cero de f?
¿Nadie puede dar una idea a esta pregunta?
¡Gracias!
No. Deje $z_0$ ser un cero de $f$$D$; wlog podemos suponer que la $z_0 = 0$ (haciendo el cambio de variable $z \mapsto z + z_0,$ que no cambia nada en la pregunta).
A continuación, $f$ tiene un poder local, la expansión de la serie de la forma $z^m(a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots),$ donde $m$ está a la orden del cero, por lo que el $a_0 \neq 0$. A continuación, $\sqrt{f(z)}$ tiene la expansión local $\sqrt{f(z)} = z^{m/2}(a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots)^{1/2}.$ Ahora el teorema del binomio muestra que $(a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots)^{1/2}$ es un bien definido holomorphic función en un n.h. de $0$ (una vez que arreglar una selección de $a_0^{1/2}$), y por lo $\sqrt{f(z)}$ tiene un punto de ramificación en $0$ si y sólo si $z^{m/2}$ hace, es decir, si y sólo si $m$ es impar.
Por lo $\sqrt{f(z)}$ ramificados en ceros de orden impar, pero no en los ceros de orden.
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