Demuestre la dimensión de la suma de dos subespacios

Question

Permita que$U$ y$W$ sean subespacios de$\mathbb{R^n}$ donde$\dim(U)=n-1$,$\dim(W)=n-3$ y$n\geq 3$

Pruebalo $\dim(U\cap W)\geq n-3$

Usé la propiedad de que$U$ y$W$ son subespacios de$\mathbb{R^n}$. Entonces$U+W$ también son los subespacios de$\mathbb{R^n}$. Por lo tanto, obtengo$$\dim(U+W)\leq n$ $

Al usar la propiedad$$\dim(U\cap W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U+W),$ $

Solo puedo obtener$$\dim(U\cap W)\geq n-4.$ $

Entonces, ¿qué parte hice mal? O la pregunta tiene un error?

Answer 1

Si$n=4$, entonces tomando$U$ como el espacio vectorial generado por$e_1,e_2$ y$e_3$, y$V$ del subespacio generado por$e_4$, tenemos $\dim(U)= 3=n-1$, $\dim(V)=1=n-3$ y por lo tanto $U\cap V=\{0\}$.