El título lo dice todo. ¿Cómo evalúo el límite dado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¿Tal vez intentar dividir? Entonces $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^x-(x-1)^x}{x^x}=\lim_{x\to\infty}\left[1-\left(\frac{x-1}{x}\right)^x\right]=\lim_{x\to\infty}\left[1-\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]. $$
Aviso $$ \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e^{\lim_{x\to\infty}x\ln(1-\frac{1}{x})}.(*) $$
Intenta hacer una sustitución como $u=1/x$ para obtener una situación en la que se aplique la regla de l'Hôpital para encontrar este límite. Recuerda que esto también cambiará el valor al que se aproxima el límite. Debería ser algo así: $$ e^{\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1-u)}{u}}=e^{\lim_{u\to 0}\frac{1}{u-1}}. $$ Disculpas por la poca legibilidad, espero que al menos te sirva para empezar.
*Edición: Como Sivaram amablemente señaló, podrías usar el hecho de que $\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$ para obtener el resultado de inmediato.
