La topología final es igual a la topología de subespacio con un subconjunto cerrado

Question

Deje $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ser una colección de espacios topológicos, vamos a $X$ ser un conjunto y deje $X_n \hookrightarrow X$ ser una colección de inyectiva mapas. Considerar en $X$ la topología final dado por estos mapas, por lo que

$G \subseteq X$ está abierto $\iff$ $G \cap X_n \subseteq X_n$ está abierto para todos los $n$.

Ahora considere el $Y \subseteq X$ ser un subespacio cerrado, y establecer $Y_n := Y \cap X_n$.

Pregunta. Es cierto que la topología de subespacio de $Y$ es la misma que la topología final dado por $Y_n \hookrightarrow Y$? En otras palabras,

$G \subseteq Y$ está abierto $\iff$ $G \cap Y_n \subseteq Y_n$ está abierto para todos los $n$.

Answer 1

Obviamente, tanto la declaración para abrir conjuntos son verdaderas iff son verdaderas para los conjuntos cerrados. Es decir, el problema puede ser traducido a

$$U \subseteq Y \text{ closed} \iff U \cap Y_n \text{ closed } \forall n \in \mathbb{N}$$

$(\Rightarrow ).$ Es la definición de la topología de subespacio, nada emocionante.

$(\Leftarrow ).$ Desde $Y$ es cerrado en $X$, $Y_n = Y \cap X_n$ es cerrado en $X_n$ todos los $n\in \mathbb{N}$. Pero como el $U \cap Y_n$ es cerrado en $Y_n$, y nos dijo que $Y_n$ es cerrado en $X_n$, entonces (recordemos que un subconjunto cerrado de un subespacio cerrado de un espacio topológico es cerrado en todo el espacio ) $U \cap Y_n = ( U \cap Y ) \cap X_n$ es cerrado en $X_n$ todos los $n$. Habiendo $X$ la topología final dado por $X_n \hookrightarrow X$, esto es equivalente a $U \cap Y$ ser cerrado en $X$, lo $U= U \cap Y = U \cap Y \cap Y$ es cerrado en $Y$. $\blacksquare$