Encuentre el límite$\lim_\limits{n\to{\infty}}n^2(\sqrt[n]{x}-\sqrt[{n + 1}]{x})$ y mi consulta sobre el teorema Stolz-Cesàro

Question

Deje $x>0$, encontrar el límite de $$\lim_\limits{n\to{\infty}}{n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[{n + 1}]{x}\right)}$$

Yo uso la serie de Maclaurin y averiguar que el límite es de $\ln x$. Y esta es la respuesta que recibo de matemáticas foro:

"Vamos a $x_n=\sqrt[n]{x}-1$, $y_n=\dfrac{1}{n}$, a continuación, $(x_n)\to0,(y_n)\to0,(y_n)\downarrow$ al $n\to\infty$.

El uso de Stolz-Cesaro teorema, tenemos:

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\sqrt[n]{x} - \sqrt[{n + 1}]{x}}}{{\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\sqrt[n]{x} - 1}}{{\frac{1}{n}}} = \ln x$$ A continuación,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^2}\left( {\sqrt[n]{x} - \sqrt[{n + 1}]{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{n^2}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\cdot\dfrac{{\sqrt[n]{x} - \sqrt[{n + 1}]{x}}}{{\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}}} = \ln x$.

/FINAL"

Me pregunto qué forma Stolz-Cesaro teorema que él usó, porque acabo de aprender Stolz-Cesaro teorema de al $(y_n)\to\infty$.

Podría alguien ayudarme a conseguir esto? Gracias de antemano.

Esta es "otra forma de Stolz teorema" en el foro de los que he mencionado: Vamos a $(x_n),(y_n)$ dos secuencias de números reales. Asumir $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {y_n} = 0$; $y_n>0$, $(y_n)$ es estrictamente decreciente y el siguiente límite existe $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}} - {x_n}}}{{{y_{n + 1}} - {y_n}}} = L$. A continuación,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = L$. Es esto correcto?

Answer 1

ps

Answer 2

De hecho, la mayoría de nosotros (incluyéndome a mí) sólo aprender de la versión de la Stolz-Cesàro teorema de donde $b_n \to \infty$ $(b_n)_{n \ge 1}$ es estrictamente creciente. Curiosamente, hay otra versión de este teorema, donde $b_n \to 0$ $(b_n)_{n \ge 1}$ es estrictamente monótona:

Deje $(a_n)_{n \ge 1}$ $(b_n)_{n \ge 1}$ ser secuencias de estrictamente monótona números reales con a$a_n \to 0$$b_n \to 0$. Si $\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac {a_{n+1} - a_n} {b_{n+1} - b_n} = l \in \bar {\Bbb R}$, $\left( \dfrac {a_n} {b_n} \right)_{n \ge 1}$ también tiene un límite y $\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac {a_n} {b_n} = l$.

Usted puede encontrar una prueba en "Análisis Real en Intervalos", por A. D. R. Choudary y C. Niculescu - teorema 2.7.1 (incluso se puede descargar el capítulo correspondiente de la editorial).

Esta situación es un perfecto paralelo a lo que sucede con l'Hospital del teorema, donde de nuevo hay dos versiones: una cuando el denominador tiende a $0$, otro cuando tiende a $\infty$.

Answer 3

Puede hacer uso de la expansión de Taylor:

$$\sqrt[n]{x}=1+\frac{\log(x)}{n}+\frac{\log(x)^2}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ $$$\sqrt[n+1]{x}=1+\frac{\log(x)}{n}+\frac{\log(x)^2}{2n^2}-\frac{\log(x)}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ $ So$$\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[{n + 1}]{x}\right)=\frac{\log(x)}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ $ Multiplicar por$n^2$ y tomar el límite termina la solución.

Answer 4

La versión de Cesaro-Stolz que mencionas es correcta, pero su aplicación para el problema en cuestión es incorrecta. El teorema se usa para deducir el límite de$a_n/b_n$ del% {$(a_n-a_{n+1})/(b_n-b_{n+1})$ y no al revés. El enfoque correcto para resolver el problema lo da el usuario "lab bhattacharjee" en su respuesta.