Convergencia de la serie de una red de ' términos de s

Question

Estoy trabajando a través del Dr. Pete Clark convergencia notas aquí: http://math.uga.edu/~pete/convergencia.pdf

y he estado pensando sobre el Ejercicio 3.2.2 (a) y estoy completamente perplejo.

El ejercicio dice que para demostrar que una serie converge sólo si tiene más de countably muchos no-cero términos. Me gustaría empezar a discutir por la contradicción, y supongamos que un neto $(x_{\alpha})$ ha uncountably distinto de cero términos. Estoy dibujando un espacio en blanco en cómo puedo construir la divergencia de la serie, basada en la definición de:

Una serie de $\sum_{\alpha\in I}x_{i}$ se dice que incondicionalmente convergen a $x$ si para todas las $\epsilon > 0$, existe un número finito de $J\subset I$ de manera tal que siempre que $K$ es un subconjunto finito de $I$ tal que $I\supset K\supset J$,$|\sum_{\alpha\in K}x_{\alpha} - x| < \epsilon$.

Answer 1

Su definición de convergencia incondicional a $x$ debe leer de la siguiente manera:

$\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ converge incondicionalmente a $x$ si para cada una de las $\epsilon>0$ hay una finito $J(\epsilon)\subseteq I$ de manera tal que siempre que $I\supseteq K\subseteq J(\epsilon)$ $K$ es finito, tenemos $\left|x-\sum_{\alpha\in K}x_\alpha\right|<\epsilon$.

Usted dijo que usted quiere demostrar que $\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ converge incondicionalmente iff $S=\{\alpha\in I:x_\alpha\ne 0\}$ es en la mayoría de los contables; el problema en realidad sólo pide la implicación $(\Rightarrow)$. Hay una buena razón para ello: la otra implicación es falsa, como se puede ver mediante la toma de $I=\Bbb N$ $x_i=1$ por cada $i\in I$.

Su idea de suponer $S$ es incontable para demostrar el verdadero $(\Rightarrow)$ implicación está bien. Supongamos que $S$ es incontable, y para cada una de las $n\in\Bbb N$ deje $S_n=\{\alpha\in S:|x_\alpha|\ge 2^{-n}\}$. Desde $S$ es incontable, debe haber alguna $n\in\Bbb N$ tal que $S_n$ es incontable. Ahora dividida $S_n$ a $S_n^+=S_n\cap(0,\to)$$S_n^-=S_n\cap(\leftarrow,0)$, el positivo y negativo de las mitades de las $S_n$; al menos una de ellas debe ser innumerables, decir $S_n^\sigma$. Ahora vamos a $J$ ser cualquier subconjunto finito de $I$. Para cualquier $k\in\Bbb N$ puede expandir $J$ a de un número finito de conjuntos de $K_k\supseteq J$ mediante la adición de $k$ elementos de $S_n^\sigma$ a a$J$; ¿qué sucede con la secuencia de sumas

$$\left\langle\sum_{\alpha\in K_k}x_\alpha:k\in\Bbb N\right\rangle$$

al hacer esto?