Matemáticas en la derivación de la ecuación de Pauli

Question

Al derivar la Ecuación de Pauli, es el siguiente paso:

$$i\frac{e}{c}\hbar[\vec{A}\times\nabla+\nabla\times\vec{A}]\phi=i\frac{e}{c}\hbar\space curl\vec{A}\cdot \phi$$

$\phi$ es uno de los spinors de la bispinor del electrón. $\vec{A}$ es el vector potencial. ¿Cómo va desde el lado izquierdo para el lado derecho? ¿Que pensé $\nabla\times\vec{A}$ % a $\text{curl}\ \vec{A}$?

Answer 1

Necesita mostrar $\overbrace{\vec{A} \times \nabla \phi + \nabla \times (\vec{A}\phi)}^{LHS}=\overbrace{\phi \nabla\times \vec A}^{RHS} $

o equivalente $ \nabla \times (\vec{A}\phi)=\phi \nabla\times \vec A -\vec{A} \times \nabla \phi$ para mostrar esto que escribimos\begin{eqnarray} \nabla \times (\vec{A}\phi) &=& \varepsilon_{ijk }\partial_i (Aj\,\phi)\;, \&=&\Big[\varepsilon{ijk }\partial_i (Aj)\,\phi+\varepsilon{ijk }A_j\,\partiali (\phi)\Big]\;,\ &=&\Big[\varepsilon{ijk }\partial_i (Aj)\,\phi-\varepsilon{jik }A_j\,\partiali (\phi)\Big]\;,\ &=&\Big[\varepsilon{ijk }\partial_i (Aj)\,\phi-\varepsilon{ijk }A_i\,\partial_j (\phi)\Big]\;,\ &\equiv& (\nabla \times\vec A)\,\phi -\vec A \times \nabla \phi \end{eqnarray} tu $\cdot$ en el lado derecho también puede causar confusión ya que parece le gusta el producto de punto pero en realidad es sin duda una multiplicación escalar.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que está tratando de utilizar la segunda identidad aquí. La forma en que usted tiene la ecuación escrita es difícil ver donde los operadores diferenciales están actuando. Así que voy a decirlo más claramente. Su mano izquierda es

$$\vec{A} \times \nabla \phi + \nabla \times \left( \phi \vec{A}\right)$$

y a su lado derecho se

$$\left(\nabla \times \vec{A}\right) \phi.$$

Cuando se utiliza la identidad para expandir el segundo término en el lado izquierdo, $\nabla \phi \times \vec{A}$ plazo cancelar con el primer término en el lado izquierdo, y los que se quedan con los RHS.

Answer 3

Yo se omiten las constantes físicas, puesto que no son tan relevantes.

LHS $=\vec{A} \times \nabla \phi + \nabla \times (\vec{A}\phi)$

(utilizar el cálculo vectorial)

$= \vec{A}\times \nabla \phi + (\nabla \phi) \times \vec{A} + \phi (\nabla \times \vec{A})$

$=\vec{A}\times \nabla \phi - \vec{A}\times \nabla \phi + \phi (\nabla \times \vec{A})$

($\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}$)

$= \phi (\nabla \times \vec{A}) = \phi \cdot curl \, \vec{A}$ = LADO DERECHO

QED