Ampliando funciones de$(a,b)$ a$[a,b]$.

Question

Vamos a decir $f$ es continua en a $(a,b)$. Es verdad que siempre se puede ampliar a una función continua en a $[a,b]$? Lo que si es uniformemente continua de la función; puede ser extendido a un uniformemente continua la función en $[a,b]$?

Estoy pensando que, si es continua en a$(a,b)$, $\lim_{x\to a^+} f(x)$ $\lim_{x\to b^-} f(x)$ existen, y entonces uno puede definir $f(a)$$\lim_{x\to a^+} f(x)$, y del mismo modo para $f(b)$. No estoy muy seguro de que, a pesar de que.

Y si ese es el caso, entonces el otro (uniforme de continuidad) de la siguiente manera fácilmente, ya que a $[a,b]$ es compacto.

Answer 1

Una discusión de la ampliación de funciones continuas $f: S \subset \mathbb{R}$ $\overline{S}$se da en $\S 10.11$ de estas notas.

Desafortunadamente, esta discusión no contienen ejemplos o aplicaciones. Aquí es una cosa que probablemente debería estar allí, y que le llevará a ver que no toda función continua en $(a,b)$ es uniformemente continua:

Proposición: Una uniformemente continua en función de $f$ definida en un subconjunto acotado $S$ $\mathbb{R}$ está acotada.

Prueba: Hay $\delta > 0$ tal que para todos los $x,y \in S$$|x-y| \leq \delta$, $|f(x)-f(y)| \leq 1$. Supongamos $\sup(S) - \inf(S) = d$, $d$ se llama el diámetro de $S$ -- y elegir un entero positivo $N \geq \lceil \frac{d}{\delta} \rceil$. A continuación, podemos cubrir la $S$ $N$ subintervalos de longitud $\delta$, y por la desigualdad de triángulo, para todos los $x,y \in S$, $|f(x)-f(y)| \leq N$. De tomar cualquier $x_0 \in S$, tenemos una cota superior de a$|f(x_0)| + \lceil \frac{d}{\delta} \rceil$$f$$S$.

El argumento anterior es decididamente cuantitativa, y en el hecho de que el obligado se le da es agudo, como uno ve por considerar $f(x) = \frac{1}{\delta}x$ en el intervalo de $[0,d]$ y teniendo en $x_0 = 0$. Por otro lado, se puede demostrar (más fácilmente!) que si $X$ es cualquier totalmente acotado espacio métrico y $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ es uniformemente continua, entonces $f$ está acotada. (Nota: a pesar de que la cuantitativa argumento de no ir a través de este nivel de generalidad: hemos utilizado algunas propiedades geométricas de $\mathbb{R}$ relacionado con su "cubriendo dimensión". Sin embargo, puede ser empujado a través de la en $\mathbb{R}^N$ con un vinculado diferente, dependiendo de la $N$.)

Y, de hecho, se puede demostrar que esta de nuevo de la siguiente manera: cada uniformemente continua en función de $f$ definido en cualquier espacio métrico se extiende únicamente a la realización de $\tilde{X}$. Además, $X$ es totalmente acotado iff $\tilde{X}$ es compacto, y una función continua en un compacto espacio es limitado.

Todo esto debe servir para motivar a Andrea Mori el ejemplo de una función continua $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ que no puede ser ampliado continuamente a $[0,1]$.

Answer 2

La función $$f (x) = \ frac1 {x (x-1)}$$ es continua en$(0,1)$ pero no se extiende a una función continua en$[0,1]$.