Variedades de Segre en hyperplanes

Question

Recuerda, el Segre incrustar un mapa de $\sigma: \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}$ dada por \begin{equation} ([x_0:\cdots:x_m],[y_0:\cdots:y_n]) \mapsto [x_0y_0:x_0y_1: \cdots: x_iy_j:\cdots: x_my_n] \end{equation}

Llame a la imagen de $\sigma$ el Segre variedad $\Sigma_{m,n}$. Yo vagamente recuerdo haber leído en algún lugar que no Segre, en la variedad está contenida en un hyperplane en $\mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}$. Esto sin duda se siente lo cierto es que (desde la definición de las ecuaciones de $\Sigma_{m,n}$ son de segundo grado, no lineal), pero la escritura de la prueba en el caso general, parece difícil.

De hecho, podemos considerar la siguiente generalización. Deje $X \subseteq \mathbb{P}^m$ $Y \subseteq \mathbb{P}^n$ variedades. El Segre producto de $X$ $Y$ es la imagen de $\sigma(X \times Y)$$\mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}$. Alguien puede suministrar una prueba de referencia o que, si $X$ $Y$ son no vacíos, entonces $\sigma(X \times Y)$ nunca está contenida en un hyperplane? Si esto resulta ser falsa, lo que las condiciones en $X$ $Y$ son necesarios para garantizar esto es cierto?

Edit: parece que esto es falso si $X$ o $Y$ se compone de puntos sólo. Así que tal vez una de las necesidades que requieren que las variedades de ser de al menos uno-dimensional.

Answer 1

a) es verdad que a $\Sigma_{m,n}$ no está incluido en un hyperplane y, contrariamente a los temores, la escritura de la prueba no es difícil. En realidad es un juego de niños:

Un hyperplane en $\mathbb{P}^{(m+1)(n+1)-1}$ ha ecuación de $\sum a_{ij}z_{ij}=0$ y decir que contiene $\Sigma_{m,n}$ significa que $\sum a_{ij}x_iy_j=0 \:$ todos los $(x,y)\in \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n$.
Pero esto obliga a todos los $a_{ij}$ a ser cero [hacer ver que par de $ (x_i,y_j) \in \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n$ muestra que?], lo cual es imposible para la ecuación de una hyperplane.

b) sin Embargo es muy posible que $\sigma(X \times Y)$ está contenida en un hyperplane para subvariedades $X \subseteq \mathbb{P}^m$$Y \subseteq \mathbb{P}^n$:

Acaba de tomar para $X$ el hyperplane $x_0=0$ $\mathbb{P}^m$ $Y$ toda $\mathbb{P}^n$.
La imagen de $\sigma(X \times Y)$ se incluyen en cada uno de los hyperplanes $z_{00}=0,z_{01}=0,\cdots,z_{0n}=0 $ .