Comprensión irracional del exponente

Question

Para un número entero$a$

$$x^a=\{(x)(x)(x)...(x)\} (a\,times)$ $$$x^{\frac{1}{b}}=n\rightarrow\;\{(n)(n)(n)...(n)\}(b\,times)=x$ $

Para el número racional$m=\frac{a}{b}$

ps

Y se puede considerar como una combinación de las situaciones anteriores

Qué pasa

ps

¿Cómo se puede calcular o imaginar esto desde operaciones más básicas?

Answer 1

$x^e$ es el límite de la secuencia

$$x^2, x^{27/10}, x^{271/100}, x^{2718/1000}, \cdots$$

Por el camino. Este es un marco conceptual, no una definición de cálculo. Nadie quiere calcular la milésima parte de la raíz de $x^{2718}$ a mano. Especialmente desde que la secuencia converge a $x^e$ muy lentamente.

Según Wolfram alpha, a los diez primeros dígitos...

$$5^e \approx 79.43235917 $$

$$5^{2718/1000} \approx 79.39633798 $$

$$\text{absolute error $= |5^e - 5^{2718/1000}| \aprox 0.036$}$$

$$\text{error relativo $= 100 \dfrac{|5^e - 5^{2718/1000}|}{5^e} \aprox 0.045\$}$%$

Answer 2

Para cualquier$a\in\Bbb R$ y cualquier positivo$x$, uno tiene por definición$$x^a=e^{a\ln x}$ $ Aunque esto podría parecer una definición de bucle, en realidad no lo es, ya que$e^x$ se define principalmente como no a través de la exponenciación, pero a través de una de las dos definiciones equivalentes:

1. ps

2. $$e^x=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}$ es la única función$f:x\mapsto e^x$ tal que$\Bbb R\to\Bbb R$ y para todo$f(0)=1$,$x\in\Bbb R$