Campos cociente algebraico cerrado

Question

Es bien sabido que si el cociente de campo de un conmutativa noetherian integralmente cerrado de dominio $R$ es algebraicamente cerrado, entonces $R$ es un campo.

La prueba es fácil: vamos a $r_0 \in R$ y elija $r_i \in R, \ i \geq 1$ tal que $r_i^2=r_{i-1}$ (esto es posible porque el cociente de campo de $R$ es algebraicamente cerrado y $R$ es integralmente cerrado). Ahora, considere la cadena de $Rr_0 \subseteq Rr_1 \subseteq \cdots $. El resto de la prueba es sencilla.

Un dato más interesante es que no necesitamos suponer que $R$ es integralmente cerrado, es decir, si el cociente de campo de un conmutativa noetherian dominio $R$ es algebraicamente cerrado, entonces $R$ es un campo. Hay una sencilla prueba de ello? (Este es el Ejercicio 4.2, página $90$ de la reserva Integral de Cierre de los Ideales, de los Anillos, Módulos y, por Craig Huneke y Irena Swanson (2006)).

Answer 1

Asumir $R$ ningún campo, es decir, hay un % primer $P$de altura $1$. $S:= R_P$ Es noetheriano y unidimensional. Por Teorema de Mori Nagata, el % de cierre integral $\overline S$también es noetheriano (esto es en las páginas 89/90 en su libro). Por lo tanto podemos aplicar el caso conocido a $\overline S$ y conseguir que $\overline S$ es un campo. $S \subset \overline S$ es integral, por lo tanto, $S$ es también un campo. Pero la localización en una altura $S$ $1$ prime, por lo tanto, no un campo. Por lo tanto nuestra hipótesis eran falsa y $R$ es un campo.