La integral definida utilizando el método de los residuos

Question

Tengo el siguiente integral para calcular: $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x.$$ La siguiente es mi intento:
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x = \int_{0}^{1}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x + \int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x .$$ Pero el uso de la sustitución de $x=1/u$, obtenemos: $$\int_{0}^{1}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x= -\int_{\infty}^{1}\frac{1}{u^2}\cdot\frac{\log (1/u)}{1 + (1/u)^2}\text{d}u = -\int_{1}^{\infty}\frac{\log u}{1 + u^2}\text{d}u.$$ Por lo tanto $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x = -\int_{1}^{\infty}\frac{\log u}{1 + u^2}\text{d}u + \int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{1 + x^2}\text{d}x = 0$$ since $u$ es una variable ficticia.

Lo que me gustaría hacer ahora es calcular la misma integral usando el método de los residuos(yo no tengo experiencia con ella), y yo con mucho gusto agradecería cualquier tipo de ayuda.
Gracias.

Answer 1

Definir una rama de corte para $\log$ que va desde el origen hasta la mitad inferior del plano, y restringir el acceso a la sucursal donde $\log(z) = \ln|z|$$z>0$$\log(z) = \ln|z| + \pi i$$z <0$. Entonces tenemos:

$$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\log(z)}{1+z^2}dz=2\int_{0}^\infty\frac{\log(z)}{1+z^2}dz+\pi i\int_{0}^\infty\frac{1}{1+z^2}dz $$

Podemos evaluar la izquierda el tamaño de la mano, cerrando el contorno con un gran semicírculo en la mitad superior del plano. Desde $f(z)|z|\rightarrow 0$$|z| \rightarrow 0$, podemos ignorar la contribución de la singularidad en el origen. Asimismo desde $f(z)|z|\rightarrow 0$ $|z| \rightarrow +\infty$ podemos ignorar la contribución de la gran semicírculo en la mitad superior del plano. La función tiene una singularidad en la mitad superior del plano, en $z=i$. Así que por el teorema de los residuos:

$$ \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty\frac{\log(z)}{1+z^2}dz= 2 \pi i \ \mbox{Res}\left[ \frac{\log(z)}{1+z^2}; z = i \right]= 2 \pi i \left[ \frac{\log(z)}{i+z}\right]_{z=i}= 2 \pi i \frac{\pi i /2}{i+i} = \frac{\pi^2 i}{2} \end{equation} $$ Y desde $\int_{0}^\infty\frac{1}{1+z^2}=\pi/2$, el original de la ecuación se convierte en:

$$ \frac{\pi^2}{2}=2\int_{0}^\infty\frac{\log(z)}{1+z^2}dz+\pi i\left(\frac{\pi}{2}\right) $$ $$ \Rightarrow \int_{0}^\infty\frac{\log(z)}{1+z^2}dz=0 $$

Answer 2

Para conseguir esto directamente, sin el contorno de integración o dividir el intervalo de integración, sustituto $x\mapsto\frac{1}{x}$: $$ \int_0^\infty\frac{\log(x)}{1+x^2}\mathrm{d}x=-\int_0^\infty\frac{\log(x)}{1+x^2}\mathrm{d}x $$ y por lo tanto la integral es $0$.

Answer 3

En el libro "el COMPLEJO de las VARIABLES de las Introducciones y las Aplicaciones" en la página 247-248 Ejemplo 4.3.5, contiene una completa respuesta a su pregunta. Él comienza con la evaluación de $I=\int_{0}^{\infty}\frac{\log^{2}(x)}{1+x^2}dx$ y después de unos pocos pasos, llegamos a la siguiente expresión $2\int_{0}^{\infty}\frac{\log^{2}(x)}{1+x^{2}}dx +2\pi i\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x)}{1+x^{2}}dx=\frac{\pi^3}{4}$. Por lo $$\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x)}{1+x^{2}}=0.$$ sugiero la lectura! Preguntas post para nosotros.