¿Es cierta la afirmación inversa a "abierto" en la topología de Munkres?

Question

Hay un problema:

Dado $(X, \tau), A \subseteq X, \forall x \in A, \exists U \in \tau, x \in U \text{ s.t. } U \subset A \implies A$ está abierto en $X$

Así que lo que hice fue mostrar que $A$ está en $\tau$ mediante la unión de todos los $\bigcup_{x \in A} U_x$ .

¿Es cierto el camino contrario?

$A$ está abierto $\implies A \subseteq X, \forall x \in A, \exists U \in \tau, x \in U \text{ s.t. } U \subset A $

Se adjunta el problema original:

Answer 1

Como ha escrito esto, con una inclusión estricta $U\subset A$ Esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, supongamos que $X=\{x\}$ tiene un solo punto (con $\tau$ la topología única en $X$ ) y $A=X$ . Entonces $A$ está abierto y $x\in A$ pero no hay ningún conjunto abierto $U$ tal que $x\in U$ y $U\subset A$ ya que el único subconjunto adecuado de $A$ ¡es el conjunto vacío!

Sin embargo, si se escribe una inclusión no estricta $U\subseteq A$ en su lugar, entonces esto es cierto. Si $A$ es abierto, entonces para cualquier $x\in A$ , puedes simplemente tomar $U=A$ y luego $U\in\tau$ y $x\in U\subseteq A$ .

Answer 2

Estoy asumiendo que $\subset$ no significa "inclusión estricta", que suele denotarse como $\subsetneq$ . Ya que has mencionado a Munkres, aquí tienes un extracto de su Topología :

Para su pregunta, es cierto. Supongamos que $A$ está abierto, a saber, $A\in\tau$ . Para cualquier $x\in A$ , dejemos que $U=A$ . Entonces $U\in\tau$ y $U\subset A$ .