Reducción dimensional de $3+1$ $2+1$ $\cal{N}=2$ superfield de vector

Question

Deje que la supersimetría transformaciones para la quirales multiplet $(z_k,\psi_{kL},f_k)$,

$\delta z_k = 2i \bar{\alpha} \psi_{kL}$

$\delta \psi_{kL} = D_\mu z_k \gamma ^\mu \alpha_R + f_k \alpha_L$

$\delta f_k = 2i\bar{\alpha} \gamma^\mu D_{\mu} \psi_{kL} - 2ie\bar{\alpha}\lambda _R z^k$

Del mismo modo deje que el medidor de multiplet $(A_\mu,\lambda,D)$ transformación,

$\delta A_\mu = i \bar{\alpha}\gamma_\mu \lambda$

$\delta \lambda = -\frac{1}{2}F^{4}_{\mu \nu}\gamma_4 ^{\mu \nu} \alpha + D \gamma_5 \alpha $

$\delta D = i \bar{\alpha}\gamma_5 \gamma ^ \mu \partial _ \mu \lambda$

Aquí en $F^4$ $\mu$ $\nu$ ir por encima de los índices de $0,1,2,3$$\gamma_4 ^{\mu \nu} = \frac{1}{2} [\gamma_4^\mu, \gamma_4^\nu]$. (estos gamma matrices se definen a continuación)

Uno hace algo que se llama "reducción dimensional" de estos a $2+1$ dimensiones espacio-tiempo, suponiendo que los campos son independientes de la tercera coordenada espacial. En $2+1$ dimensiones espacio-tiempo de la gamma de matrices se define como,

$\gamma ^0_3 = -i\sigma^2$, $\gamma^1_3 = \sigma ^3$ y $\gamma^2_3 = \sigma ^1$

En el llamado "Majorana representación de" la $4-$dimensiones Gamma matrices puede ser escrito tal que $\gamma_4 ^{0\1\2} = \a la izquierda [ \begin{array}{cc} & \gamma_3 ^{0\1\2} \\ \gamma_3 ^{0\1\2} & \end{array} \right ] $ and $\gamma_4 ^3 = \left [ \begin{array}{cc} I & \\ & -I \end{array} \right ]$

Uno cambia el nombre del tercer componente del medidor de campo $A_3$ $C$ y divisiones de la $4-$componente de fermiones en $2-$componente spinors en $2+1$ dimensiones,

$\lambda = \left [ \begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{array} \right ]$

$\alpha = \left [ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{array} \right ]$

Uno de los sustitutos de los de arriba en el primer set de supersimétricas las transformaciones y los conjuntos de a $0$ todos los derivados con respecto a la $3^{rd}$ dirección espacial.

A continuación, se supone que uno debe obtener,

$\delta A_\mu = i \bar{\alpha}_a \gamma_\mu \lambda _a$

$\delta \lambda _a = - \frac{\epsilon ^{\mu \nu \rho}F_{\nu \rho}}{2}\gamma _ \mu \alpha_a + \partial _\mu C \gamma ^\mu \alpha ^a + D \alpha ^a$

$\delta C = i\bar{\alpha}^a \lambda _a$

$\delta D = i \bar{\alpha}^a\gamma ^\mu \partial_\mu \lambda_a$

donde $a$ ejecuta a través de $1,2$ $\alpha^1 = \alpha_2$ $\alpha^2 = -\alpha_1$

Hacer lo anterior puedo conseguir las anteriores transformaciones en todos los campos. (Sólo que necesito un hecho que es cierto sólo para estas matrices gamma en el $3$-dimensiones que $[\gamma_3^\mu,\gamma_3^\nu]=2\epsilon ^{\mu \nu \rho}\gamma_{3\rho}$)

• En esta "reducción dimensional" la elección de la gamma matrices parecía crucial. ¿Es esto cierto?

• No sé cómo, pero se supone que esta es para que coincida con las transformaciones de la $\cal{N}=2$ vector multiplet en $2+1$ dimensiones que ha componets, $A_\mu, \lambda_a,C,D$ (por qué?)

• No sé cómo, se deriva del contenido del campo (como arriba) de la $\cal{N}=2$ vector multiplet en $2+1$ dimensiones.

• De lo anterior se afirma que las siguientes formas una de lagrange respetando por encima de la simetría y es lo que se llama el `supersimétrica de Chern-Simons teoría"

$L = \frac{\kappa}{2} (\epsilon ^{\mu \nu \rho} A_\mu \partial _\nu A_\rho - i \bar{\lambda_a}\lambda_a + 2CD)$

Pero para establecer el por encima de la demanda que necesitan para asumir dos resultados,

• La primera es una propiedad que de nuevo parece típico de $3$ dimensiones gamma de las matrices que, $\gamma_3^{\mu \dagger} \gamma_3 ^0 = -\gamma_3^0\gamma_3^\mu$

• En segundo lugar tengo que asumir la siguiente variación para el fermión de auto-acoplamiento,

  $\delta (\bar{\lambda} \lambda) = 2\delta (\bar{\lambda}) \lambda$

No está claro para mí, ¿por qué deberían los anteriores mantienen.

• Una diferencia crucial entre lo de arriba y lo de costumbre Abelian supergauge teoría es que la cinética del plazo para el fermión falta. ¿Cómo se entiende esto?

Answer 1

Queridos Anirbit, este es un número muy grande de la explícita y la implícita, algo elemental preguntas incrustadas en una copia de una técnica de derivación que no parece ser importante para la real "primaria" preguntas a todos. Es difícil ver lo que tus preguntas son realmente porque usted parece estar escondido en el enrevesado formalismo. Pero yo lo veo de la siguiente manera:

La forma particular de matrices gamma es crucial, ¿no?

No, la forma particular de matrices gamma nunca es crucial para la física. Por supuesto, si usted quiere estar de acuerdo con los valores particulares de los componentes de la matriz o de las entradas que alguien ha derivado, es necesario utilizar la misma convención para la gamma matrices (y otras cosas). Pero si quieres obtener un físico de la visión, usted puede elegir cualquier base de las matrices gamma. Las derivaciones estarán relacionados por un trivial de la conjugación de las matrices, o signo volteretas si uno elige diferentes convenios para la métrica etc.

Lo siento, esto no es realmente una pregunta acerca de las representaciones en 3D de la supersimetría álgebras. Es una pregunta básica acerca de la diferencia entre la física y las convenciones sociales. Mi respuesta sería idéntica en cualquier otro contexto donde se habla de los convenios. Todo el que ha oído o leído en menos de 10 minutos de una conferencia acerca de gamma matrices deben saber que existen diferentes maneras de representarlos y todos ellos pueden ser utilizados para hacer física.

Cómo se deriva el contenido de los campos de un supermultiplet?

Uno lleva a un estado de la multiplet y actúa con ella subiendo y/o bajando la supersimetría generadores de aquellos que aumentan o disminuyen algunos $U(1)$ de los cargos por $\pm 1/2$. Algunos de ellos son aniquilados por la supersimetría generadores. Uno obtiene las tiradas de todos los estados en la multiplet. Entonces uno también puede intentar adivinar de Lorentz-covariante campos cuyo físico de las polarizaciones adaptarse a las necesidades de espectro de la física de partículas.

En $d=2+1$, el vector multiplet de $N=2$ álgebra - que tiene 4 sobrealimenta como $N=1$ $d=3+1$ - es sólo la reducción dimensional de la $N=1$ $d=4$ multiplet en 3 dimensiones. De modo que el vector de multiplet se convierte en un vector y un escalar uno de los componentes transversales se convierte en un escalar, mientras que el Majorana spinor se convierta en un par de spinors en 3 dimensiones.

El quirales multiplet en $d=4$ $N=1$ obtiene directamente del reducido a tres dimensiones. En cuatro dimensiones, una que tiene un complejo de escalar y una Majorana spinor. En tres dimensiones, esto se reorganizó como dos escalares y dos reales de dos componentes spinors - por lo tanto, el índice de $k$ de los campos en el comienzo de su texto.

Cómo se descompone multiplets en virtud de la reducción dimensional?

En primer lugar, la supersymmetries sí mismos transformación de la spinors, así que uno se descompone spinors por ejemplo, de $SO(2,1)$ bajo $SO(1,1)$ subgrupo. Si se quita una dimensión de espacio-tiempo, la de mayores dimensiones spinor siempre se convierte en la parte inferior-dimensiones spinor o su pareja. Del mismo modo, para una descomposición de un spinor de $SO(d)$ bajo una máxima $SO(d_1)\times SO(d_2)$ group, una spinor de la antigua se convierte en un producto tensor de la spinors de los últimos grupos más pequeños, o la suma directa de dos tensor de productos (uno tiene que hacer un simple ejercicio sobre la quiralidad y/o de la realidad de la spinors).

Es difícil entender a partir de su texto si usted está familiarizado con estos hechos básicos acerca de spinors o no, es decir, si usted quiere estas cosas para ser explicado o si es sólo una pérdida de tiempo, porque usted sabe que ellos, o si usted está familiarizado con el hecho de que la mayoría de estos "descomposición" y "reducción dimensional" preguntas son acerca de la descomposición de las representaciones de la Mentira grupos y supergroups en virtud de sus subgrupos. Si no lo eres, no deberías haber empezado por ocultar los problemas técnicos tales como $N=2$ vector multiplets en tres dimensiones; usted debe han preguntado ¿cuál es el procedimiento para dimensionalmente reducir una teoría. Pero uno debe enfocarse en una pregunta - una pregunta a la vez. Simplemente se vuelve extremadamente confuso si la física SE pregunta está compuesto de 10 de estas cosas.

Los escalares - maillots - siguen siendo los escalares - maillots. Los vectores se descomponen a los vectores más los maillots procedentes de la reducción de las direcciones del espacio. Cuando uno sabe que, es fácil determinar lo que los nombres que se utilizan para esos campos.

Por qué Chern-Simons teoría

Debido a que el Chern-Simons acción puede ser escrito utilizando un 3D medidor de campo y es el indicador de invariantes y de Lorentz-invariante. Sin embargo, esa no es la única acción que uno puede escribir en un medidor de campo. El Yang-Mills acción también puede ser supersymmetrized. Así que no es cierto que el $N=2$ SUSY implica que el medidor de campo tiene que ser el de Chern-Simons (que no tiene físico de las polarizaciones desde la teoría topológica). Pero la fuente que usted está leyendo el simple hecho de estudiar esta teoría, por lo tanto, hizo lo que los supuestos son necesarios para identificar el particular de Lagrange.

Hermitian conjugación de matrices gamma

En algún momento, usted parece estar sorprendido por la relación que usted incorrectamente la pretensión de "sólo para matrices 3D" que el Hermitian conjugación es equivalente a (menos) la conjugación por el temporal de rayos gamma de la matriz.

Esta realidad se mantiene en cualquier dimensión y en cualquier (natural!) convenio en el que la gamma matrices son elegidos Hermitian o anti-Hermitian temporal y espacial de las direcciones, respectivamente. (Esta opción es necesaria porque el individuo matrices deben cuadrados a más de identidad o menos la matriz de identidad, dependiendo de su ser spacelike o timelike, porque se desprende de la anticommutator relaciones de gamma matrices y la firma de la métrica.) No es difícil ver por qué. El anti-Hermitean queridos cambiar el signo de la conjugación, que son exactamente las mismas que el anti-conmuta con $\gamma_0$: tenga en cuenta que $\gamma_0$ viajes con sí misma, sino anticommutes con los demás, por lo que la conjugación por $\gamma_0$ cambia el signo de los "otros".

De nuevo, no debería estudio oscuro supermultiplets en ocultar dimensiones si usted no entiende lo gamma matrices de hacer bajo la Hermitian conjugación. Este hecho es un componente básico de cualquier teoría del campo cuántico curso. De hecho, normalmente se discuten en el contexto de la (de una sola partícula) ecuación de Dirac, incluso antes de que los estudiantes comienzan con la teoría cuántica de campos. La costumbre pedagógico que el tratamiento puede tener un $d=4$ sesgo, por razones obvias, pero es cierto que la gamma matrices sólo se convierten en el valor de su nombre, si que puede ser utilizado por encima de $d=2$ o $d=3$ también: conocer gamma matrices en $d=2$ o $d=3$ sólo significa no saber gamma matrices; $d=4$ ya es lo suficientemente complicado como para que uno podía adivinar cómo se generaliza a cualquier dimensión.

Usted debe haber perdido todo este asunto de alguna manera. De nuevo, te recomiendo algún curso básico de la teoría cuántica de campos, ya que cubre todas las preguntas o, a menos, naturalmente, un equivalente matemático introducción a las representaciones de la Mentira de los grupos.

La variación de los fermiones

El otro "misterioso" de la fórmula de variación de la fermionic bilinears es sólo la regla de Leibniz para la derivada de un producto (ahora, me gustaría creer que usted sabe cómo diferenciar un producto, pero esta cuestión de la suya - en el que no hizo un solo paso para reducir la cuestión a una más elementales, es decir, en el que en realidad no se aplican incluso la regla de Leibniz - reducción de mi certeza, incluso sobre este punto), combinado con el hecho de que el spinors en 3 dimensiones que son reales, por lo que la Dirac conjugación efectivamente contiene "transposición" y sólo los dos términos de la regla de Leibniz son iguales, la producción del factor de dos. De nuevo, no es gran cosa, es sólo una simetría del producto interior de dos vectores (spinors) en este caso. La única cosa que uno podría preocuparse de la relación señal, pero debido a $\bar\lambda \lambda$ no desaparecen por un fermionic $\lambda$, debido a que son contratados con un antisimétrica $\epsilon_{\alpha\beta}$$SL(2,R)=Spin(2,1)$, se deduce que su variación no puede ser cero. Así, la relativa signo tiene que ser plus y el primer término de la regla de Leibniz tiene que ser doblado en lugar de cancelado.

Es muy difícil responder a estas preguntas de manera significativa debido a que es una corriente relativamente claramente irrelevantes detalles que no tienen nada que ver con el "principal" cosas que parecen confundirse, combinado con sus opiniones y conjeturas que son casi siempre mal (como las conjeturas que uno no está permitido el uso de diferentes bases); y los errores tipográficos que hacer una discusión técnica imposible (por ejemplo, no hay una "barra diagonal inversa 1" o "barra diagonal inversa 2" en el TeX).