¿Por qué el hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano?

Question

Entonces, como dice el título, ¿por qué el hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano?

Sé que a partir de la mecánica cuántica, uno puede empezar con el Hamiltoniano definido como el generador de la evolución del tiempo, crear la integral de la trayectoria del Hamiltoniano, y luego integrar los momentos e identificar el "objeto" restante como la transformación de Legendre del Hamiltoniano. Así que si el Lagrangiano se define como el objeto correcto para salir en una integral de trayectoria (es decir, una integral de trayectoria que sólo se integra sobre las diferentes trayectorias de la coordenada de la partícula), lo anterior da la relación entre el Hamiltoniano y el Lagrangiano.

Sin embargo, desde un punto de vista puramente clásico, cuando se suele partir del Lagrangiano tal y como se define para dar las ecuaciones de movimiento correctas (o por T-V), me cuesta entender por qué el Hamiltoniano se define como la transformada de Legendre. Sé que la transformada de Legendre y esta definición de los momentos canónicos cambia de las ecuaciones de Euler Lagrange a las ecuaciones de Hamilton Jacobi y que resultan ser dos formas convenientes de parametrizar la dinámica. Pero, ¿hay alguna motivación mejor para realizar la transformada de Legendre sobre la lagrangiana?

Answer 1

Esta es una línea de motivación:

1. Por un lado, en el formalismo lagrangiano, la función energética lagrangiana $$\tag{1} h(q,v,t)~:=~v^i \frac{\partial L(q,v,t)}{\partial v^i}- L(q,v,t)$$ se define como el Carga de Noether para las traducciones de tiempo.

2. Teorema de Noether establece que si la lagrangiana es invariante bajo traslaciones temporales, lo que implica que $$\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial t}~=~0,$$ entonces la energía (1) se conserva $$\frac{d h(q,v,t)}{d t}~\approx~ 0$$ en la cáscara.

3. Por otro lado, la función hamiltoniana se define como la Transformación de Legendre $$\tag{2} H(q,p,t)~:=~\sup_v (v^i p_i -L(q,v,t)).$$

4. Aunque la función energética lagrangiana (1) y la función hamiltoniana (2) son dos diferentes funciones que dependen de diferentes las dos funciones sí toman la mismo cuando las velocidades $v^i$ y los momentos $p_i$ se emparejan mediante las reglas de transformación de Legendre. De esta manera, el Hamiltoniano obtiene una interpretación como energía.

Para más información, véase también, por ejemplo este y este Mensajes de Phys.SE.