Entonces, como dice el título, ¿por qué el hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano?
Sé que a partir de la mecánica cuántica, uno puede empezar con el Hamiltoniano definido como el generador de la evolución del tiempo, crear la integral de la trayectoria del Hamiltoniano, y luego integrar los momentos e identificar el "objeto" restante como la transformación de Legendre del Hamiltoniano. Así que si el Lagrangiano se define como el objeto correcto para salir en una integral de trayectoria (es decir, una integral de trayectoria que sólo se integra sobre las diferentes trayectorias de la coordenada de la partícula), lo anterior da la relación entre el Hamiltoniano y el Lagrangiano.
Sin embargo, desde un punto de vista puramente clásico, cuando se suele partir del Lagrangiano tal y como se define para dar las ecuaciones de movimiento correctas (o por T-V), me cuesta entender por qué el Hamiltoniano se define como la transformada de Legendre. Sé que la transformada de Legendre y esta definición de los momentos canónicos cambia de las ecuaciones de Euler Lagrange a las ecuaciones de Hamilton Jacobi y que resultan ser dos formas convenientes de parametrizar la dinámica. Pero, ¿hay alguna motivación mejor para realizar la transformada de Legendre sobre la lagrangiana?
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En mecánica clásica, la transformada de Legendre nos permite tener $2n$ diferenciales de primer orden en $2n$ variables independientes a través del Hamiltoniano, en lugar de diferenciales de segundo orden a través del Lagrangiano.