Dejemos que $a_n$ y $b_n$ son estrictamente crecientes a $+\infty$ secuencias tales que la serie $\sum \frac{1}{a_n}$ y $\sum \frac{1}{b_n}$ son divergentes. ¿Es cierto que la serie $\sum \frac{1}{a_n+b_n}$ ¿también es divergente?
A primera vista parece cierto, así que intenté demostrarlo, pero después de algunos intentos fallidos empiezo a creer ahora que podría existir un contraejemplo. ¿Alguna idea?
Para $r \geqslant 0$ , dejemos que $k_r = 2^{2^r}$ . Sea
$$\begin{align} a_n &= k_{2r+2} - \frac{1}{n},\text{ for } k_{2r} \leqslant n < k_{2r+2};\\ b_n &= k_{2r+1} - \frac{1}{n},\text{ for } k_{2r-1} \leqslant n < k_{2r+1}; \end{align}$$
para $n \geqslant 4$ y elija $a_n, b_n$ de forma bastante arbitraria para $n < 4$ .
Entonces
$$\sum_{n=k_{2r}}^{k_{2r+2}-1} \frac{1}{a_n} > \frac{k_{2r+2}-k_{2r}}{k_{2r+2}} > \frac{1}{2},$$
así que $\sum \frac{1}{a_n}$ diverge. Análogamente, $\sum \frac{1}{b_n}$ diverge.
Pero, tenemos $a_n > b_n$ para $k_{2r} \leqslant n < k_{2r+1}$ y $b_n > a_n$ para $k_{2r+1} \leqslant n < k_{2r+2}$ Así que
$$\sum_{n=k_{2r}}^{k_{2r+2}-1} \frac{1}{a_n + b_n} < \frac{k_{2r+1}-k_{2r}}{k_{2r+2}} + \frac{k_{2r+2}-k_{2r+1}}{k_{2r+3}} < \frac{k_{2r+1}}{k_{2r+2}} + \frac{k_{2r+2}}{k_{2r+3}},$$
y
$$\frac{k_r}{k_{r+1}} = 2^{2^r-2^{r+1}} = 2^{-2^r} = \frac{1}{k_r},$$
así que
$$\sum_{r=1}^\infty \frac{1}{k_r} < \infty$$
y
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n+b_n}$$
converge.
Esto no es cierto. Tenga en cuenta que ${1 \over a_n + b_n} \leq {1 \over \max({a_n,b_n})} = \min({{1 \over a_n},{1 \over b_n}})$ . Así que basta con encontrar un ejemplo en el que $\sum_n \min({{1 \over a_n},{1 \over b_n}})$ converge.
Para ello, puede elegir $N_1 < N_2 < ...$ tal que para $n$ en $[N_i, N_{i+1}]$ uno de ${1 \over a_n}$ y ${1 \over b_n}$ es igual a $2^{-n}$ y el otro es casi constante en $[N_i, N_{i+1}]$ . Si $N_{i+1}$ es lo suficientemente grande en relación con $N_i$ entonces la suma de los términos de la secuencia casi constante puede hacerse mayor que $1$ si disminuyen lo suficiente.
Luego, en $[N_{i+1}, N_{i+2}]$ cambias los papeles; el otro de ${1 \over a_n}$ y ${1 \over b_n}$ es igual a $2^{-n}$ y el que antes era igual a $2^{-n}$ es ahora casi constante asegurando que la secuencia es estrictamente decreciente. A continuación, vuelve a cambiar los papeles en $[N_{i+2}, N_{i+3}]$ y así hasta el infinito.
Desde $\sum_n \min({{1 \over a_n},{1 \over b_n}}) \leq \sum_n 2^{-n} = 1$ la suma $\sum_n {1 \over a_n + b_n} $ es finito. Pero como cada una de las sumas originales es mayor que $1$ en cada uno de los otros bloques, los dos divergen.
Esto es falso, aunque no tengo un contraejemplo concreto tengo una construcción, de un contraejemplo general.
Definir $a_n$ y $b_n$ en bloques. Para hacer $\frac{1}{a_n}$ divergen, si ya hemos definido $a_{n_0}$ tomar la secuencia $$\frac{1}{a_{n_0}+1}+ \frac{1}{a_{n_0}+2}+ \frac{1}{a_{n_0}+3}+ \frac{1}{a_{n_0}+4}+\cdots$$ y continúe así durante todo el tiempo que desee, hasta llegar a un gran número, ahora elija $b_n$ corespondiente para que $\frac{1}{a_n+b_n}$ es muy pequeño, delimitado por $\frac{1}{2^n}$ digamos.
Después de haber acumulado un gran número en el $a$ lado cambien los papeles y acumulen un gran valor en el $b$ lado y eligió $a$ para que la suma converja. Ahora sigue alternando esto.
$\mathbf{Edit:}$ Esto está mal. Me perdí la parte estrictamente creciente, dejándolo en caso de que ayude para una respuesta.
No. Pista: Supongamos que $a_n$ es como $n$ para incluso $n$ , pero es como $n^2$ para impar $n$ . Ahora, supongamos lo contrario para $b_n$ (es como $n^2$ para incluso $n$ pero como $n$ para impar $n$ ).
Existe un contraejemplo.
Construimos $a_n,b_n$ inductivamente en bloques de tamaño creciente. Cada bloque contribuirá $\simeq 1$ a $\sum_n 1/a_n,\ \sum_n 1/b_n$ pero la contribución a $\sum_n \frac{1}{a_n+b_n}$ será insignificante.
Supongamos que $a_{n_0}, b_{n_0}$ son los primeros términos aún no construidos, y dejemos que $N \geq a_{n_0-1},b_{n_0-1}$ sea un número entero. Establecemos $a_{n} = N$ para $n_0 \leq n < n_0 + N$ y para los más grandes $n \leq n_0 + N^2$ asignamos un valor increíblemente grande. Establecemos $b_{n} = N^2$ para $n_0 \leq n < n_0 + N^2$ . El bloque recién construido termina en $n_0 + N^2$ .
Las entradas que acabamos de construir aportan unos $1$ a cada uno de $\sum_n 1/a_n,\ \sum_n 1/b_n$ . Por otro lado, aportan alrededor de $1/N$ a $\sum_n \frac{1}{a_n+b_n}$ . Si establecemos $N$ sea lo suficientemente grande (por ejemplo, si se trata de $i$ -éste bloque, podemos exigir que $N > 2^i$ ) encontramos que $\sum_n \frac{1}{a_n+b_n}$ converge.
Editar: Si $a_n,b_n$ se supone que son estrictamente creciente, sólo hay que añadir algo como $1-1/n$ a las secuencias construidas anteriormente.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
