Apenas estoy empezando a aprender la teoría de grupos. Como ejemplo de grupos finitos nuestro profesor escribió este grupo con sólo dos elementos, por $$ \left (\begin{array}{cc} 0 & z \ z^{-1} & 0\end{matriz} \right),\:\:\: \left (\begin{array}{cc} z & 0 \ 0 & z^{-1}\end{matriz} \right) $$ donde $z \:\epsilon\:\mathbb{C} $. Aquí se puede tomar infinitamente tantos valores $z$. Estoy muy confundida por eso llamamos a esto un grupo finito. En general que deseen entender cómo exactamente nos encontramos que si un grupo es finito o infinito.
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voldemort
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Su profesor significaba que elegir y fijar un $z \in \mathbb{C}$. Usted tiene que elegir un cero $z$ hacer sentido de $z^{-1}$. Ahora que considerar los dos elementos, y llamarlos $a$$b$. EDIT: después de Berci comentario, usted realmente necesita $z$ a raíz de la unidad, es decir, $z$ debe ser tal que $z^n=1$. A continuación, el grupo que generan es finito:
1) Muestran que tanto $a$ $b$ han finito pedidos, el uso de la multiplicación de la matriz.
2) del Mismo modo "ver" la relación entre el $ab$ $ba$ y tratar a la conclusión de que el grupo debe ser un grupo finito.
Nick
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Para abordar parcialmente su pregunta general, sea o no un general del grupo es finito puede ser un problema muy difícil. Sólo para ir abriendo el apetito, echa un vistazo a Burnside del problema, se plantea en 1902, que preguntó si cada grupo en la que todos los elementos se pueden expresar como productos de los términos de un número finito de lista, cada uno de los cuales tiene orden finito, es finito. Hubo que esperar hasta 1964 para probar por contraejemplo que la respuesta es en realidad ¡no! Hay grupos que son finitely generó y en el que cada elemento es de orden finito, pero que no son finitos.
Demostrando que un grupo en particular es limitada y a menudo dependen de las técnicas particular a la familia a la que pertenece o a veces incluso ad hoc técnicas. Aunque, la mayoría de los "sensible" ejemplos de admitir un "sensible" ataque-en la clase que usted puede encontrar que si se le pide, como un ejercicio para demostrar que un grupo es finito puede ser suficiente para dar una estrategia para enumerar todos los elementos del grupo y, a continuación, probar que el algoritmo finalmente se detiene. Esto funciona, por ejemplo, para cíclico grupos de permutación de grupos, la matriz de los grupos de más finito campos, diedro grupos, etc. Probar que un infinito de grupo es infinito es a menudo más fácil, ya que la mayoría de los "sensible" ejemplos de la infinita grupos de al menos un elemento de orden infinito, a pesar de los contraejemplos para el problema de Burnside.
