Una desigualdad de condición $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$

Question

Que $x{i}>0,i=1,2,\cdots,n$y tal$x{1}+x{2}+\cdots+x{n}=1$, muestran que el$$\left(\sum{i=1}^{n}\dfrac{1}{1-x{i}}\right)\left(1-\sum{i=1}^{n}x^2{i}\right)\le n

desde $$1-\sum{i=1}^{n}x^2{i}=\sum{i=1}^{n}x{i}-\sum{i=1}^{n}x^2{i}=\sum{i=1}^{n}x{i}(1-x{i}) basta para mostrar % $ \left(\sum{i=1}^{n}\dfrac{1}{1-x{i}}\right)\cdot\sum{i=1}^{n}\left(x{i}(1-x{i})\right)\le n$

Answer 1

Desde $\dfrac 1 {1-x_i} \ge \dfrac 1 {1-x_j} \Leftrightarrow x_i (1-x_i)\ge x_j (1-x_j)$ usando la desigualdad de Chebyshev

$(\sum_{i=1}^n \dfrac 1 {1-xi})(\sum{i=1}^n x_i (1-xi))\le n\sum{i=1}^n \dfrac 1 {1-x_i} \cdot xi(1-x{i} )=n $