¿Cómo mostrar la identidad $\int_0^T \int_{\Gamma(t)}f(s,t)\;dsdt = \int_S f(\sigma)(1+(\mathbf w \cdot \mathbf n)^2)^{-\frac{1}{2}}\;d\sigma$?

Question

Estoy leyendo este documento.

Deje $\Gamma(t)$ ser un suave cerrado conectado orientado a la hipersuperficie para cada una de las $t \in [0,T]$. Definir el conjunto $$S = \bigcup_{t \in (0,T)}\Gamma(t) \times \{t\}.$$

En la página 5 del documento, los autores dicen

la identidad $$\int_0^T \int_{\Gamma(t)}f(s,t)\;dsdt = \int_S f(\sigma)(1+(\mathbf w \cdot \mathbf n)^2)^{-\frac{1}{2}}\;d\sigma$$ tiene

donde $\mathbf n$ es la unidad normal en $\Gamma(t)$ $\mathbf w$ es un campo de velocidad que advects $\Gamma(t)$ (estas definiciones se encuentran en la página 2).

PREGUNTA ¿Cómo hace uno para demostrar esta identidad? De hecho, yo pensé que $$\int_0^T \int_{\Gamma(t)}f(s,t)\;dsdt = \int_S f(\sigma)\;d\sigma$$ se supone para ser verdad.

La plaza arraigada plazo me recuerda el uso de un parametrisation, pero no sabe por qué o cómo. Me pregunto qué significa para escribir un producto integral como en el lado derecho...

También he publicado esto en Mathoverflow.

Answer 1

Este es un bebé versión de la coarea fórmula, que es una curvilínea versión del teorema de Fubini.

Rompiendo $\Gamma(0)$ en trozos pequeños suponemos que calcular en un pequeño local de coordenadas con la variable $x \in B$ métricas e $g_{ij}$. A continuación, localmente $(x, t)$ es un gráfico de $S$ $(x, t)\mapsto (\Phi_x(t), t)$ donde $\Phi_x(t)$ resuelve el ODE

$\Phi'_x(t) = w(\Phi_x(t))$.

(Tenga en cuenta que $x\mapsto \Phi_x(t)$ da un local de coordenadas para $\Gamma(t)$. Con respecto a este coordinar $S$, el elemento de volumen está dado por

$$ d\sigma = \sqrt{1+ (w\cdot n)^2} \sqrt{\det(g^t_{ij})} dx$$

donde $g^t_{ij}$ es la métrica en $\Gamma(t)$. (La razón es que, como $(w, 1) = ((w\cdot n)n, 1) + (w^t, 0)$ donde $w^t$ es el tengential parte (w.r.t. $\Gamma(t)$ )$w$). Entonces

$$\int_S f(\sigma) (1+ (w\cdot n)^2)^{-1/2} d\sigma = \int^T_0 \int_{B} f(\Phi_x(t), t) \sqrt{\det(g^t_{ij})} dx dt= \int^T_0 \int_{\Gamma(t)} f(s, t) ds dt$$