¿El trazo de Sheffer el avance más importante en la lógica?

Question

Creo que una vez leí, o escuché, que Bertrand Russell dijo que el descubrimiento de que todos los operadores lógicos son expresables en términos de la Golpe de Sheffer fue el avance más significativo en la lógica desde la publicación de Principia Mathematica y que si él y Whitehead lo hubieran sabido de antemano, habrían procedido de forma completamente diferente.

Esta es una afirmación realmente extraña, así que imagino que yo (o la persona que me lo dijo) lo entendió mal, o lo escuchó mal, o se lo inventó completamente.

Si Russell realmente dijo algo así, ¿qué dijo exactamente, y dónde y cuándo?

Answer 1

He estado leyendo el reciente libro La evolución de Principia Mathematica , por Bernard Linsky.

La cita que aparece en el post no es del todo correcta. Viene en la introducción de la edición de 1925 de Principia , primera página. Esto es lo que realmente se escribió, en su totalidad.

"La mejora más definitiva resultante del trabajo en lógica matemática es la sustitución, en la sección A de la Parte I, de la única indefinible " $p$ y $q$ son incompatibles" (o, alternativamente, " $p$ y $q$ son ambos falsos") para los dos indefinibles "no- $p$ " y " $p$ o $q$ ." Esto se debe al Dr. H.M. Sheffer. En consecuencia, M. Jean Nicod demostró que una proposición primitiva podía sustituir a las cinco proposiciones primitivas $\ast$ 1.2.3.4.5."

Así que Russell está diciendo que la mayor mejora en la segunda edición de Principia que se debe a los recientes avances en lógica matemática, presumiblemente por otros, provienen de la utilización del trazo de Sheffer y de una axiomatización basada en el trabajo de Nicod. También hay cambios significativos en la descripción de la teoría de tipos, pero presumiblemente eso no se menciona aquí porque se basa en ideas de Russell. (Para entonces, Whitehead se había retirado).

Russell es no diciendo que el trabajo de Sheffer es el desarrollo más importante en lógica matemática de los últimos catorce años.

Answer 2

El enfoque que tenía Russell era muy diferente al que tienen los lógicos hoy en día. El punto de vista de Russell sobre la "lógica" estaba estrechamente relacionado con Principia Mathematica y sus interpretaciones de otros resultados dependían de su relación con el PM, porque ese sistema era la base de su programa de investigación en lógica y filosofía.

El trabajo de Russell fue la cumbre del programa logicista: argumentar que toda la matemática puede expresarse en "lógica" pura y estudiar las propiedades de esa "lógica". La existencia de un único operador al que pudieran reducirse todos los demás operadores "lógicos" sería maravillosa desde ese punto de vista, al igual que una única ley física que explicara toda la física sería maravillosa para los fundamentos de la física. El uso de una única primitiva habría reducido el número de "nociones lógicas" necesarias en los fundamentos de la PM, lo cual era un objetivo filosófico importante.

Así que, en el contexto de la PM, las observaciones de Russell eran perfectamente razonables. La clave es que su punto de vista de la "lógica" estaba directamente enfocado a PM.

Answer 3

Al parecer, Russell hizo este comentario en la edición de 1925 de PM, donde introdujo el golpe de Sheffer (NAND). Véase la página 1 de La evolución de Principia Mathematica . Dice que Russell lo llamó "la mejora más definitiva resultante de la lógica matemática durante los últimos catorce años". Pero como señala el autor, se trata de un comentario de impar, y el cambio es una trivialidad técnica. Tampoco entiendo por qué Russell estaba tan impresionado con esto. Nunca lo he encontrado útil para demostrar nada, y tampoco he visto a otros utilizarlo. Como mucho se menciona de pasada.

Answer 4

La idea de mejora que podrían haber sido llevados a Principio Matemático [PM] ¡está muy mal colocado! Sustituir el equipo primitivo {INCLUSIVO-OR, NEGACIÓN} por el NAND de Sheffer (en realidad el de Peirce o incluso... ¡el de Crisipo!) no tendría mejorado PM, en absoluto.

Porque sí, primo El primer ministro es un pedazo de niño. charabia que no debería haberse escrito -y publicado- en primer lugar: no es más que un ejercicio elemental de formalización (bastante largo, por cierto). De hecho, se puede generar con la ayuda de un software adecuado.

Incluso la idea de la formalización en la PM no viene al caso: en la PM, como en la Terminología (1879) o en su Leyes básicas de la aritmética (1893--1903) y en el artículo pionero de Peirce de 1885, la formalización se refiere sólo a un aspecto superficial de la lógica, a saber, las fórmulas (demostrables) como expresión de proposiciones y/o esquemas proposicionales, no las pruebas en sí mismas: el concepto de prueba -el concepto central de la lógica, después de todo- se deja sin formalizar en PM. [*]

En segundo lugar, el tratamiento de la cuantificación (de primer y segundo orden) en PM es muy defectuoso y constituye un retroceso considerable incluso con respecto a Frege. (Por cierto, esta es una de las observaciones laterales de Goedel sobre Russell, no la mía. Véase el artículo de Goedel La lógica matemática de Russell , en La filosofía de Bertrand Russell editado por Paul Arthur Schilpp, Northwestern University, Evanston y Chicago IL 1944, pp. 123--153).

En tercer lugar, el hallazgo russelliano, destinado a evitar paradojas y similares, es decir, el llamado teoría ramificada de los tipos -- es una pieza paradigmática de pensamiento confuso: en PM, las llamadas órdenes y la jerarquía de tipos se introducen sólo para deshacerse de ellas, en una etapa posterior (por el llamado Axioma de reducibilidad ).

En cuarto lugar, la matemática real "formalizada" (por así decirlo, es decir, en términos formularios) en PM es bastante elemental.

Finalmente, PM (en realidad Russell y Whitehead) ha hecho más daño que bien a la investigación en lógica (teórica), durante los últimos cien años aproximadamente.

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[*] El probarse a sí mismos han sido formalizados por primera vez por Nicolaas Gerrit de Bruijn y sus estudiantes y colaboradores en la Politécnica de Eindhoven (NL), hace unos 40 años, dentro del proyecto Automath (Matemáticas Automatizadas), desde aproximadamente 1967--1968. Cf. por ejemplo https://www.win.tue.nl/automath/ y mi Autómata abstracto Centro Matemático, Amsterdam 1982 [Mathematisch Centrum Tract 160] @ https://www.win.tue.nl/automath/archive/webversion/xaut021/xaut021.html .