Una generalización del teorema de la curva de Jordania que involucra el círculo de Varsovia

Question

Cuando vi por primera vez en Jordania curva teorema mi impresión fue: "Wow, un complicado teorema nos dice algo que es obvio!" Permítanme estado el Teorema:

Deje $C \subset \Bbb{R}^2$ ser un conjunto homeomórficos para el círculo de $S^1$. A continuación, $\Bbb{R}^2 \setminus C$ tiene dos componentes: uno de ellos es acotado, el otro es ilimitado.

¿Qué acerca de un cambio de hipótesis? ¿Qué acerca de si $C$ fueron (homeomórficos a) el círculo de Varsovia? Intuitivamente, creo que la respuesta sería la misma: $C$ divide el plano en un espacio de dos componentes conectados, una curva y la otra no acotada.

Pero ¿es esto cierto? ¿Cómo podemos demostrar esto? Es un corolario del teorema de Jordan?

Answer 1

Hay dos formas de generalización del teorema de Jordan. Uno es más geométrica, y nos lleva a la Schoenflies teorema: "toda curva cerrada en $\mathbb R^2$ límites de un disco". Esto es para dar el control sobre la forma de las dos regiones.

La otra manera es dejar que nos relajarse condiciones en la forma de los involucrados. Este es un poco más difícil y más algebraicas. Para ello, queremos aprovechar la dualidad de Alexander.

El resultado de la versión del teorema es "Vamos a $X$ ser un subconjunto compacto de $\mathbb R^2$. Entonces, si el 1 de Cech homología $\check H_1(X) = \mathbb Z$, el complemento tiene dos componentes conectados, uno limitado y el otro sin límites."

Esto incluye, en particular, el círculo de Varsovia.