De distribuciones exponenciales para la distribución de Weibull (CDF)

Question

Problema: Deje $X_1$ $X_2$ dos independientes exponencial de las variables aleatorias con la PDFs $f_{X_i}(x_i)={1\over \lambda_i} \exp(-\frac{x_i}{\lambda_i})$ (donde $i=1,2$). También, vamos a $Y=\frac{(X_1)^2 X_2}{a}$.

Quiero encontrar a $(Y\leq x)$ es decir $F_Y(x)=\frac{(X_1)^2 X_2}{a} \leq x$.

Mi intento de sol (1):

$$\eqalign {y=(X_1)^2 \leq \frac{x} {X_2}\\ &=\int_0^\infty X_1 \leq \sqrt{\frac{x} {z_2}} \quad f_{X_2}(z_2) dz_2\\ Y= {1\over \lambda_2} \int_0^\infty \left(1-\exp\big(-{\sqrt\frac{x} {z_2 \lambda_1^2}}\big)\right) \exp(-\frac{z_2}{\lambda_2}) \quad dz_2\\ Y=1-{1\over \lambda_2} \int_0^\infty \exp\left(-{\sqrt\frac{c} {z_2}}-\frac{z_2}{\lambda_2}\right) dz_2\etiqueta{1}}$$

Sé que $\int_0^\infty \exp\left(-{\frac{\beta} {4z_2}}-{z_2 \gamma}\right) dz_2 = \sqrt{β\over\gamma}K_1(\sqrt{\beta\gamma})$ a partir de la Tabla de Integrales, Series y Productos, 7ª edición - ecuación §3.324.1]. Sin embargo, la forma final de la ecuación anterior contiene $\sqrt{}$ y por lo tanto no puede ser resuelto mediante el uso de §3.324.1. Así que si ustedes pueden comentar o proporcionar cualquier tipo de ayuda que podrían ser muy útiles.

Mi intento de sol (2):

$$\eqalign {y=(X_1)^2 \leq \frac{x} {X_2}\\ &=\int_0^\infty X_2 \leq {\frac{x} {z_1^2}} \quad f_{X_1}(z_1) dz_1\\ Y= {1\over \lambda_1} \int_0^\infty \left(1-\exp\big(-{\frac{x} {z_1^2 \lambda_2}}\big)\right) \exp(-\frac{z_1}{\lambda_1}) \quad dz_1\\ Y=1-{1\over \lambda_1} \int_0^\infty \exp\left(-{\frac{c} {z_1^2}}-\frac{z_1}{\lambda_1}\right) dz_1\etiqueta{1}}$$ Una vez más, al mejor de mi conocimiento esta ecuación anterior no se somete a cualquier forma cerrada de la solución. Así que estoy atascado aquí....

Desde entonces, X es exponencial r.v, con una media de $\lambda$, $X^{1\over\gamma}$ es una Weibull (γ β) de la variable aleatoria. Podemos resolverlo de esta manera? mediante el uso de la CDF o pdf de weibull durante acondicionado?

Cualquier tipo de ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Nos puede olvidarse $\lambda_1$ $\lambda_2$ porque $X_1/\lambda_1$ $X_2/\lambda_2$ siempre están exponencialmente distribuidos con una unidad de media y la variable $Y=X_1^2X_2$ está relacionado con $(X_1/\lambda_1)^2(X_2/\lambda_2)$ por un factor constante $\lambda_1^2\lambda_2$. Así, W. L. O. G, consideremos $\lambda_1=\lambda_2=1$. La densidad de probabilidad de $Y$ está dado por

$$p(y)=\int_0^\infty dx_1\int_0^\infty dx_2\,e^{-x_1-x_2}\delta(x_1^2x_2-y) =\int_0^\infty \frac{dx_1}{x_1^2}\,\exp\left(-x_1-\frac{y}{x_1^2}\right),$$

donde $y>0$. Por lo tanto, el complemento de CDF puede ser encontrado por

$$P(Y>y)=\int_y^\infty p(y')dy'=\int_0^\infty dx_1\exp\left(-x_1-\frac{y}{x_1^2}\right).$$

Mathematica dice que la integral que da el Meijer de la función G. Ver http://reference.wolfram.com/language/ref/MeijerG.html. Así que no hay mayor simplificación posible, creo. Punto de silla de aproximación que existe para que un gran $y$.

Answer 2

Como otra respuesta ha sugerido que la función de densidad de probabilidad está trabajando con no parecen tener una particular y agradable forma cerrada, pero en caso de que sea de alguna utilidad para usted, podemos calcular la función característica de a $Y = X_1^2 X_2$ donde $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ por \begin{align*} \varphi_Y(s) &= \int_0^{\infty} e^{isy} f(y) dy \\ &= \int_0^{\infty} e^{isy} \int_0^{\infty}\frac{1}{2w^{3/2}}e^{-\sqrt{w}}e^{-y/w}dwdy \\ &=\int_0^{\infty}\frac{1}{2w^{3/2}}e^{-\sqrt{w}}\int_0^{\infty} e^{(is - 1/w)y}dydw \\ &= \int_0^{\infty}\frac{1}{2w^{3/2}}e^{-\sqrt{w}}\frac{w}{1-isw}dw\\ &= \int_0^{\infty}\frac{1}{1 - isu^2}e^{-u}du\\ &=\int_0^{\infty} \frac{e^{-u}}{s^2 u^4 + 1}du +i\int_0^{\infty}\frac{su^2e^{-u}}{s^2u^4 + 1}du. \end{align*} Que suma más de las raíces de $s^2u^4 + 1 = 0$ está dado por

\begin{align*} \varphi_Y(s) &= \frac{1}{4}\left(\sum_{r \,: \,s^2r^4 + 1 = 0} \frac{1}{s^2}\frac{e^{-r} \mbox{Ei}(u)}{r^3}\bigg|_{u=0}^{u=\infty} + \frac{i}{s}\frac{e^{-r}\mbox{Ei}(u)}{r}\bigg|_{u=0}^{u=\infty}\right). \end{align*}

Para el caso general puede ser recuperado de $\varphi_Y(\lambda_1^2 \lambda_2/a)$, y luego puede aproximar el CDF con Edgeworth/Gram-Charlier serie o Saddlepoint aproximaciones.