"Hay hasta isomorfismo, solamente un cíclico el grupo estructura de un orden dado"

Question

En Fraleigh de Un Primer Curso de Álgebra Abstracta, me he encontrado con esta declaración (p. 106). Sin embargo, yo no había visto una prueba de la declaración antes. Así que, ¿alguien puede decirme por qué esto es cierto?

La proposición. No hay, hasta el Isomorfismo, Sólo Un Grupo Cíclico de la Estructura de un Orden Dado.

La implicación aquí es que cualquiera de los dos grupos cíclicos de la misma orden son isomorfos, que parece más bien una herramienta poderosa. ¿Qué es acerca de ser cíclico que conserva las propiedades estructurales de los grupos de la misma orden?

Answer 1

Que $G$ $H$ ser grupos cíclicos de orden $n$. Entonces hay $g\in G$ tal que cada elemento en $G$ puede ser escrito como $g^k$ $k$ y $h\in H$ tal que se puede escribir cada elemento en $H$ $h^k$ $k$. ¿Se puede encontrar un isomorfismo $f:G\to H$?

Answer 2

Si $G$ es cíclico de orden $n$, con generador $g$, entonces el mapa $$ \varphi\colon\mathbb{Z}\to G, \quad k\mapsto g ^ k $$ es un homomorfismo de grupo sobreyectiva. Por lo tanto, por el teorema de homomorfismo $$ G\cong\mathbb {Z} / \ker\varphi $$ y por razones de cardinalidad, $\ker\varphi=n\mathbb{Z}$. Así cada grupo cíclico de orden $n$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.