¿Los conjuntos abiertos están en$\mathbb{R}^2$ uniones contables de rectángulos abiertos disjuntos?

Question

Sólo estoy tratando de demostrar que cada conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ es mediante la medida de productos derivada de la medida de Lebesgue medible. Esto es lo primero que vino a la mente porque recuerdo que se pueden abrir son contables uniones de intervalos abiertos disjuntos, pero me preguntaba si hay una elemental manera de hacer esto.

Answer 1

La respuesta a la pregunta es no: el conjunto de puntos de mentira debajo de la línea $y=-x$, por ejemplo, no es una Unión de contables muchos pares discontinuas rectángulos abiertos.