Condiciones más débiles que localmente euclidiana

Question

Esta es una pregunta general, pero espero que algunas personas encuentran interesante. Estoy trabajando en la configuración de compacto métrica espacios, por lo que la mayoría de las propiedades topológicas básicas serán satisfechos.

Cuando el espacio de $X$ también está conectado, entonces sé que está conectado localmente es suficiente para ser localmente ruta de acceso conectado, y también es suficiente para la métrica en $X$ equivalente a una convexa de la métrica. Por lo tanto compacto, conectado, métrica espacios están conectados localmente es muy fuerte.

Pero también hay conectado localmente espacios como las dendritas que mirar muy lejos de los colectores. Hay un montón de selecciones de la arc y el círculo, y sé que hay un par de caracterizaciones en dimensión dos, ya que hay Moore y Bing caracterizaciones de la 2-esfera. Pero me pregunto si hay en general las condiciones locales que son lo suficientemente fuertes como para suponer que un punto está contenido en un barrio en el que se ve como algo de $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{R}^\omega$, el Cubo de Hilbert?

Básicamente, estoy buscando algún local condición de que sea un punto de $x \in X$ puede satisfacer de modo que, asumiendo $X$ es un compacto, conectado, conectado localmente espacio métrico, se deduce que el $X$ es localmente Euclídeo en $x$ - o tiene un barrio homeomórficos a la cerrada de la mitad superior del plano, es decir, se ve como un punto límite de una variedad con frontera. Me pregunto si alguno de los tres siguientes (además de algo) son lo suficientemente buenos, o si alguien sabe de algunos contraejemplos:

1) $X$ es localmente contráctiles (no se basta por sí mismo, por ejemplo, la dendrita o simple triod)

2) $X$ es localmente homogénea (cada punto tiene una base local de homogénea abrir barrios)

3) $X$ está fuertemente localmente homogénea (todos los $x$ tiene una base local $U_i$ de abrir barrios, tales que para cada $y \in U_i$ hay una homotopy en $U$ envío de $x$ $y$compuesta de homeomorphisms)

3a) $X$ está fuertemente localmente homogénea en todos los $n$-punto para cada uno de los $n$ (es decir, el homotopy puede ser elegido para enviar cualquier $n$ puntos distintos a cualquier otro $n$ puntos distintos).

Se puede añadir también la homogeneidad de las condiciones de los límites o condiciones sobre la extensibilidad de los locales homeomorphisms a los límites.

Especialmente curioso si ha habido avances desde el anillo del teorema se extendió a todas las dimensiones de Moise/Kirby/Quinn, o desde la teoría de Cantor Colectores estaba totalmente desarrollado. En particular, son alguno de los de arriba lo suficientemente fuerte como si el$U_i$, se asume el Cantor Colectores? Creo que tal vez para la dimensión 2 que podría ser relevante, por lo menos, pero, probablemente, el Cantor del Colector de propiedad tendría que ser reemplazado con algunos ($n-2$)-dimensional no separar grupos en las dimensiones superiores.

Para ser honesto, además de la clasificación de los teoremas de las superficies, en realidad, no he venido a través de cantidad de cosas en este local de aspecto topológico. Tal vez una expresión algebraica topologist tiene una explicación de por qué es mucho más difícil en las altas dimensiones? Este es un papel que he encontrado que parece relevante, pero los resultados no son muy satisfactorios, excepto para superficies.

https://www.jstor.org/stable/1969469

Alguien pasó mucho tiempo pensando acerca de este problema?

Answer 1

En primer lugar, usted debe reemplazar "homotopy" por "isotopía" en su pregunta. A continuación, debe agregar "localmente compacto", para eliminar la, digamos, de dimensiones infinitas espacios de Banach. Esto no es suficiente, sin embargo. Por ejemplo, el cubo de Hilbert es compacta, homogénea, contráctiles, localmente contráctiles, etc. Sin embargo, es infinito-dimensional (cubriendo su dimensión es infinito).

Existe un importante cuerpo de literatura sobre "generalizado colectores", que son finito-dimensional de la homología de los colectores de satisfacer algunas condiciones adicionales. Usted encontrará que muchas de las referencias en esta página mantenida por Andrew Ranicky, incluyendo Ranicky MR revisión del papel

J. Bryant, S. Ferry, W. Mio, S. Weinberger, la Topología de la homología de los colectores, en los Anales de las Matemáticas. 143, (1996) 435-467.

Los autores construyen algunos exóticos finito-dimensional de "colector-como" espacios que no son topológica de los colectores. Se conjetura que sus espacios son homogéneos.

Edit. Los ejemplos son bastante duro, a menos que su especialidad es la de mayores dimensiones de la topología, usted no será capaz de entender. Un bebé versión de estos ejemplos es la Pontryagin de la superficie, que es un 2-dimensional ${\mathbb Q}$-homología de colector. Se obtiene a partir de a $S^2$ tomando infinitamente muchos conectado sumas con $RP^2$ "en todas partes": se empieza con un triangular $S^2$, a continuación, extraiga un disco pequeño de cada 2-simplex e identificar sus límites por el antipodal mapa. Triangular el resultado de la superficie de nuevo y repetir. Continuar de forma inductiva y, a continuación, toma directa de límite. El resultado es la superficie de Pontryagin $\Pi_2$. De acuerdo a esto, Pontryagin de la superficie es homogénea. No es localmente contráctiles, por supuesto, así que esto es sólo un bebé versión del ejemplo real, que se basa en una secuencia de cirugías en una variedad de dimensión $\ge 5$.