¿Es esta función de matriz convexo o no convexo?

Question

Dado, $g(Z)=Tr(Z^Tf(Z)Z)$ donde $f(Z)=h(Z)-ZZ^T$ es una p.s.d de la matriz formada con las entradas en $Z$, donde de nuevo $h(Z)$ es una matriz diagonal con su $i$'th diagonal de la entrada se $h_{ii}(Z)=\sum_{j}(ZZ^T)_{ij}$ donde $Z$ es una verdadera matriz rectangular con más filas que columnas (alta y flaca) y Tr es la matriz de seguimiento:

Pregunta: Ahora, es $g(Z)$ un convexo de la función en $Z$ o no?

Donde estoy ahora:

Sé que $Tr(Z^TPZ)$ es convexa donde $P$ es una p.s.d de la matriz que es fijo y no depende de la $Z$. Pero en la cuestión de la $g(Z)$, el p.s.d matriz $f(Z)$ depende de $Z$ y esto me confunde mucho para determinar la convexidad o no-convexidad de $g(Z)$.

Answer 1

Si no me equivoco, $g(Z)=\operatorname{tr}\phi(Z)$, donde $\phi(Z)= Z^T\left( \operatorname{diag}(ZZ^T\mathbf{1}) - ZZ^T\right) Z$. Entonces $g$ no es convexo. Contraejemplo: que $J$ ser la matriz 2 por 2 con todas las entradas iguales a $1$. Entonces \phi $$ (I) = \phi (J) = 0, \ \phi\left (\frac {I + J} {2} \right) = \frac14\begin{pmatrix}1&-1\-1&1\end{pmatrix}. $$ Por lo tanto $g$ no es convexo.