Si

Question

Evalúa$\lim_{n\to\infty}n^2\int_0^1x^nf(x)dx$ si$f(1)=0$.

Sé que si$f$ es continuo, entonces$\int_0^1x^nf(x)dx=0$ aplicando la sustitución$u=x^n$ y usando la misma sustitución$n\times\int_0^1 x^nf(x)dx \to f(1)$ como$n\to\infty$. Pero, ¿qué sucede si todavía tengo un $n$ queda en el frente de$n^2$ y$f(1)=0$. Mi caso particular es:$f(x)=(x-1)\times e^{-\frac{1}{x+5}}$. ¿Algún consejo?

Answer 1

Si$f \in C^1 ([0,1])$ (como en su caso particular), podemos integrar por partes para encontrar$$I_n \equiv n^2 \int \limits_0^1 x^n f(x) \, \mathrm{d} x = - \frac{n^2}{n+1} \int \limits_0^1 x^{n+1} f'(x) \, \mathrm{d} x \, , \, n \in \mathbb{N} \, .$ $ Entonces la sustitución$ t = x^{n+2}$ da como resultado$$ I_n = -\frac{n^2}{(n+1)(n+2)} \int \limits_0^1 f'\left(t^{\frac{1}{n+2}}\right) \, \mathrm{d} x \, , \, n \in \mathbb{N} \, .$ $ Ahora el prefactor converge a$1$ como $n \to \infty$ . Como$f'$ es continuo, el integrando converge a$f'(1)$ para cada$t \in (0,1]$. Como también está limitado, podemos usar el teorema de convergencia dominado para concluir$$ \lim_{n \to \infty} I_n = - \left[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)(n+2)} \right] \int \limits_0^1 \lim_{n \to \infty} f'\left(t^{\frac{1}{n+2}}\right) \, \mathrm{d} t = - 1 \cdot \int \limits_0^1 f'(1) \, \mathrm{d} t = - f'(1) \, . $ $