¿Cómo encontrar el punto de una línea que tiene la longitud mínima a tres puntos?

Question

He aprendido algunas formas de encontrar un punto en una línea que pueda minimizar la suma de longitudes a otros puntos.

Quiero generalizar esto a tres puntos utilizando geométrico métodos.

Pregunta:

Hay tres puntos $(A,B,C)$ en el mismo lado de una línea, encontrar un punto en esa línea para minimizar $PA+PB+PC$ .

Sé que el método del multiplicador de Lagrange puede resolver este tipo de problemas, pero quiero encontrar algún significado geométrico.

Mi intento

Al igual que en el caso de los dos puntos, dejemos que el punto $B$ ir a otro lado.

$P$ tal vez se encuentre en la intersección de $BA, BC$ con el eje x.

Pero de repente me di cuenta de que el punto de mínima distancia total a los tres vértices del triángulo se llama Punto de Fermat-Torricelli ( $F$ en la imagen).

Pero ese punto puede no estar en la línea. Pero podemos obtener una intersección conectando $BF$ .

No puedo demostrar qué punto es más pequeño, o hay otros puntos más pequeños.

Answer 1

Esto no es algo que se pueda resolver con construcciones geométricas para más de dos puntos.

Supongamos que el $n$ los puntos son $(x_i,y_i)$ y el punto de destino se limita a la $x$ -entonces el problema es equivalente a minimizar la siguiente función: $$\sum_i\sqrt{(x-x_i)^2+y_i^2}$$ Al considerar el problema sin restricciones, el conjunto de puntos cuya suma de distancias al $n$ puntos es constante es un $n$ -elipse y el problema restringido está pidiendo indirectamente aquella constante para la que el $n$ -elipse es tangente a la $x$ -eje. Para dos puntos, esta forma es una elipse normal, y el método de reflexión representado funciona porque la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta (y la elipse es de grado algebraico 2).

Sin embargo, para tres puntos, la elipse 3 es de grado 8 - demasiado grande para admitir una solución exacta en todos los casos.

Tomé tu último diagrama y asigné coordenadas $(0,2),(2,-2),(3,3)$ a $A,B,C$ respectivamente. ¿Qué es $P$ en su diagrama - el $x$ -intercepción de la recta entre el punto de Fermat de $\triangle ABC$ y $B$ - se encuentra en $(1.61509982\dots,0)$ donde la suma de las distancias a $A,B,C$ es $$7.911\mathbf64173\dots$$ Esto es bastante bueno, pero no es óptimo. El punto óptimo es $(1.59405306\dots,0)$ cuya suma-distancia correspondiente es $$7.911\mathbf42964\dots$$

El hecho de que esto sólo difiera a partir del cuarto decimal demuestra lo delicado que es este problema y la indiscutible superioridad de los métodos numéricos para abordarlo.