¿Cómo encontrar el valor mínimo de $f(x)=\dfrac{\sin{x}}{x},x \neq 0.$?

Question

Problema

Encontrar el mínimo valor de $$f(x)=\dfrac{\sin{x}}{x},(x \neq 0).$$

Nota

Tal vez, usted podría considerar la posibilidad de encontrar su derivada. Pero, de hecho, existen infinidad de extremo puntos por encima de su dominio. De esta forma no puede trabajar. Por medio de gráficas, es evidente que se puede ver que no existe un valor mínimo del punto de localización de más de $(\pi,2\pi)$ y el intervalo simétrico $(-2\pi,-\pi).$

Cómo mostrar este hecho?

Answer 1

Consideramos sólo $x\ge 0$. Nota $f\left( \frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{2}{3\pi}$ y

$$f(x) = \frac{\sin x}{x} \ge -\frac{1}{x} \ge -\frac{1}{3\pi}> -\frac{2}{3\pi}$$

cuando $x\ge 3\pi$. Así que el mínimo global se produce en el intervalo $(\pi, 2\pi)$. Derivado de la toma:

$$ f'(x) = \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}$$

Así que debe satisfacer el mínimo global $x_m$

$$ x = \tan x, \ \ \ x\in (\pi, 2\pi).$$

Parece que usted tiene que encontrar numéricamente.

Answer 2

Continuando con la respuesta de John Ma, son las soluciones aproximadas (ver aquí)

\pi$$x_n = q -\frac 1 q - \frac{2}{3q^3} - \frac{13}{15q^5} - \frac{146}{105q^7} +\cdots $n$ where $n$ $, odd $$ corresponding to minimum values and even $q=\left (n + \frac {1} {2} \right) para valores máximos de la función.

Answer 3

Prueba de ese mínimo no se alcanza en cualquier lugar fuera de lo intervalos $(\pi , 2\pi )$ y $(-2\pi, -\pi )$: podemos centrarnos en el lado positivo ya que la función dada es aún. Que $x >2\pi $. Entonces $|\frac {\sin x} x| -\frac 1 {2\pi }$. Ahora consideremos $\frac {\sin (\pi +\pi /4)} {\pi +\pi /4}=-\frac {\cos (\pi /4)} {\pi +\pi /4}=-\frac 1 {\sqrt 2} \frac 1 {{\pi +\pi /4}}

Answer 4

Al $\sin x/ x $ es un extremo, por la diferenciación obtenemos una ecuación trascendental

$$ \tan x = x $$

Los gráficos de $\tan x, x $ se cruzan en una infinidad de puntos de suministro de los valores máximo y mínimo de sus raíces en la alternativa de orden, como se muestra:

WAgraph

Sólo el primero de los mínimos ( cerca de$\approx 4.49341..$ ) son necesarios. Se pueden encontrar, por ejemplo, Newton-Raphson iteración.