¿Es un subconjunto de $\mathbb R^2$ homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb R^2$ un subconjunto abierto?

Question

¿Supongamos que $X\subset \mathbb R^2$ con la topología de subconjunto y $U\subset\mathbb R^2$ un subconjunto abierto con la topología de subconjunto, si $X\cong U$ y deducir $X\subset \mathbb R^2$ también está abierto?

Esto no es cierto para el espacio topológico general, por ejemplo $S={1,2}$ con la topología\begin{equation} \tau_S=\big{\emptyset,{1,2},{1}\big} \end{equation} entonces\begin{equation} {2}\cong{1} \end{equation} pero ${1}\subset S$ está abierto y ${2}\subset S$ no es abierto.

Answer 1

Sí, esto es cierto para cualquier $\mathbb{R}^n$ como consecuencia de la invariancia del teorema del dominio. If

$$f:U\to X$$

es un Homeomorfismo, entonces tenemos un mapa continuo inyectivo $g:U\to\mathbb{R}^n$, $g(x)=f(x)$ que tiene que ser abierto. Así la imagen $X$ es abierto.