¿Cómo encontrar el término general de la siguiente secuencia?

Question

En matemática, la física del problema, me encontré con la siguiente recurrencia del problema: \begin{align} d_{i-1} &= 2\varphi_{i+1}+4\varphi_i + 8d_i-7d_{i+1} - F \left( \delta_{i,N} + \delta_{i,N+1} \right) \, , \\ \varphi_{i-1} &= -7\varphi_{i+1}-16\varphi_{i} + 24 \left( d_{i+1}-d_{i} \right) + F \left( \delta_{i,N} + \delta_{i,N+1} \right) \, , \end{align} donde $d_i, i \in \{2, \cdots , N+1\}$ representan los desplazamientos, $\varphi_i$ inclinaciones, y $F$ es una fuerza que actúa en los nodos $N$$N+1$.

Requerimos por el sistema de simetría que $d_{N+1}=d_N = d_\mathrm{C}$ $\varphi_N = -\varphi_{N+1}= \varphi_\mathrm{C}$ donde $d_\mathrm{C}$ $\varphi_\mathrm{C}$ son todavía ser determinado a partir de las condiciones de contorno:

$d_1 = 0$ (cero desplazamiento) y $2\varphi_1+\varphi_2 = 3d_2$ (cero el par)

Con el fin de proceder, me han tratado de determinar en primer lugar $d_{N-1}$ $\varphi_{N-1}$ desde el sistema anterior, y, a continuación,$d_{N-2}$$\varphi_{N-2}$, etc... de una manera recursiva y, a continuación, intente encontrar el término general de la resultante de las secuencias.

Para el término $N-1$, obtenemos \begin{align} d_{N-1} &= d_\mathrm{C}+2\varphi_\mathrm{C}-F \, \\ \varphi_{N-1} &= -9\varphi_\mathrm{C}+3F \, . \end{align}

De forma análoga, se obtiene por el término de $N-2$ \begin{align} d_{N-2} &= d_\mathrm{C}-18\varphi_\mathrm{C}+4F \, \\ \varphi_{N-2} &= 89\varphi_\mathrm{C}-24F \, . \end{align}

Me preguntaba si hay una particular manera de entender el término general de dicha secuencia.

En aras de la exhaustividad, y como Delta-u mencionó en su comentario, el recurrente secuencia se expresa a continuación para el término $i+1$

\begin{align} d_{i+1} &= 8d_i-7d_{i-1}-4\varphi_i-2\varphi_{i-1} - F \left( \delta_{i,N} + \delta_{i,N+1} \right) \, , \\ \varphi_{i+1} &= 24 \left( d_i-d_{i-1} \right) -16\varphi_i-7\varphi_{i-1} - 3F \left( \delta_{i,N} + \delta_{i,N+1} \right) \, , \end{align} para $i \in \{2, \cdots , N+1\}$.

Cualquier ayuda o sugerencia es bienvenida.

Answer 1

$$\mathbf{\color{green}{The\ linear\ approach}}$$

Como se desprende de los comentarios, el tema de la tarea puede ser detalized en la forma de \begin{cases} d_{i-1} = 2\varphi_{i+1}+4\varphi_i + 8d_i-7d_{i+1}\\[4pt] \varphi_{i-1} = -7\varphi_{i+1}-16\varphi_{i} + 24 \left( d_{i+1}-d_{i} \right) \\[4pt] i=2,3\dots N-1\\[4pt] d_1 = 0\\[4pt] 2\varphi_1+\varphi_2 = 3d_2\\[4pt] d_{N-1} = 2\varphi_{N+1}+4\varphi_N + 8d_N-7d_{N+1} - F\\[4pt] \varphi_{N-1} = -7\varphi_{N+1}-16\varphi_{N} + 24 \left( d_{N+1}-d_{N}\right) + F\\[4pt] d_{N} = 2\varphi_{N-1}+4\varphi_{N+1} + 8d_{N+1}-7d_{N-1} - F\\[4pt] \varphi_{N} = -7\varphi_{N-1}-16\varphi_{N+1} + 24 \left( d_{N-1}-d_{N+1}\right) + F\\[4pt] d_{N+1}=d_N\\[4pt] \varphi_{N+1} = -\varphi_{N},\tag1 \end{casos} o \begin{cases} d_{i-1} - 8d_i - 4\varphi_i + 7d_{i+1} - 2\varphi_{i+1} = 0\\[4pt] \varphi_{i-1} + 24d_i + 16\varphi_{i} - 24d_{i+1} + 7\varphi_{i+1} = 0 \\[4pt] i=2,3\dots N-1\\[4pt] d_1 = 0\\[4pt] 2\varphi_1 - 3d_2 + \varphi_2 = 0\\[4pt] d_{N-1} - d_N - 2\varphi_N = - F\\[4pt] \varphi_{N-1} + 9\varphi_{N} = F.\tag2 \end{casos} Esto le da al sistema lineal $$A\overrightarrow v=\overrightarrow f,\tag3$$ donde $$A= \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&2&-3&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&-8&-4&7&-2&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&24&16&-24&7&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&-8&-4&7&-2&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&24&16&-24&7&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&-8&-4&7&-2&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&24&16&-24&7&0&0&0&0&0&0\\ &&&&&&&&&\dots&&&&&&\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&-8&-4&7&-2\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&24&16&-24&7\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&-1&-2\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&9\\ \end{pmatrix},$$ $$ \overrightarrow v=\begin{pmatrix} d_1\\\varphi_1\\d_2\\\varphi_2\\\vdots\\d_{N-1}\\\varphi_{N-1}\\d_N\\\varphi_N \end{pmatrix}, \overrightarrow f=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\-F\\F \end{pmatrix}. $$ Métodos para la solución de $n$-diagonal SLAE $(n=6)$ son bien conocidos.

$$\mathbf{\color{green}{Common\ solution}}$$

Vamos \begin{cases} d_{i-1} - 8d_i + 7d_{i+1} = 4\varphi_i + 2\varphi_{i+1}\\[4pt] \varphi_{i-1} + 16\varphi_{i} + 7\varphi_{i+1} = -24d_i + 24d_{i+1}\\[4pt] i=2,3\dots N-1\\[4pt] d_1 = 0\\[4pt] 2\varphi_1 - 3d_2 + \varphi_2 = 0\\[4pt] d_{N-1} - d_N - 2\varphi_N = - F\\[4pt] \varphi_{N-1} + 9\varphi_{N} = F,\tag1 \end{casos} En busca de la solución en la forma de $$d_i = Ap^{-i},\quad\varphi_i=Bq^{-i}.\tag2$$ tenemos el sistema de \begin{cases} Ap^{-i-1}(p^2-8p+7) = Bq^{-i-1}(4q+2) \\ 24Ap^{-i-1}(1-p) = Bq^{-i-1}(q^2+16q+7),\tag3 \end{casos}

lo que conduce a la relación $$\dfrac{d_i}{\varphi_i} = \frac pq\frac{4q+2}{p^2-8p+7} = \frac pq\frac{q^2+16q+7}{24(1-p)},\tag4$$ donde $$(p^2-8p+7)(q^2+16q+7) + 48(p-1)(2q+1)=0,$$ o $$(p-1)\left((p-7)q^2+16(p-1)q + 7p-1\right) = 0,$$ con las soluciones $$\left[\begin{align} &p=1\\ &p=7,\quad q=-\frac12\\[4pt] &p=q=-5\pm2\sqrt6, \end{align}\right.\tag5$$ en tercer y cuarto soluciones obtenidas, utilizando condición adicional $p=q$, lo que permite mantener la relación de $(4).$

Las fórmulas de $(5)$ $(4)$ conducir a la solución común en la forma de $$\begin{align} &\binom{d_i}{\varphi_i} = C_1\binom{1}{0}+C_27^{-i}\binom{7}{-96}\\[4pt] &+C_3(-5-2\sqrt6)^{i}\binom1{2\sqrt6}+C_4(-5+2\sqrt6)^{i}\binom1{-2\sqrt6}, \end{align}\tag6$$ (el uso de la identidad de $(-5+2\sqrt6)(-5-2\sqrt6)=1$).

Los coeficientes de $C_i$ pueden ser definidas a partir de las condiciones de frontera.

$$\mathbf{\color{green}{Modified\ solution.}}$$

El modelo anterior tiene una resonancia solución de $(p=1).$ Para evitar esta situación, se debe utilizar otra base.

Vamos $$D_i=d_{i}-d_{i-1},\quad d_1=0,$$ entonces \begin{cases} -D_{i} + 7D_{i+1} = 4\varphi_i + 2\varphi_{i+1}\\[4pt] \varphi_{i-1} + 16\varphi_{i} + 7\varphi_{i+1} = 24D_{i}\\[4pt] i=2,3\dots N-1\\[4pt] 2\varphi_1 - 3D_2 + \varphi_2 = 0\\[4pt] D_{N} + 2\varphi_N = + F\\[4pt] \varphi_{N-1} + 9\varphi_{N} = F,\tag1 \end{casos} En busca de la solución en la forma de $$D_i = Ap^{-i},\quad\varphi_i=Bp^{-i}.\tag2$$ tenemos el sistema de \begin{cases} A(7-p) = B(4p+2) \\ 24A = B(p^2+16p+7),\tag3 \end{casos}

lo que conduce a la relación $$\dfrac{D_i}{\varphi_i} = \frac{4p+2}{7-p},\tag4$$ donde $$(p-7)(p^2+16p+7)+96p+48=0,$$ $$(p - 1) (p^2 + 10 p + 1) = 0,$$ con las soluciones $$\left[\begin{align} &p_1=1,\quad D_i=\varphi_i\\ &p_2=-5+2\sqrt6,\quad D_i=\dfrac{\sqrt6-2}2\varphi_i\\ &p_3=-5-2\sqrt6,\quad D_i=-\dfrac{\sqrt6+2}2\varphi_i. \end{align}\right.\tag5$$

Las fórmulas de $(2)$ $(5)$ conducir a la solución común en la forma de $$\begin{align} &\binom{D_i}{\varphi_i} = C_1\binom{1}{1}+C_2(-5-2\sqrt6)^{i}\binom{\sqrt6-2}2+C_3(-5+2\sqrt6)^{i}\binom{\sqrt6+2}{-2} \end{align}\tag6$$ (el uso de la identidad de $(-5+2\sqrt6)(-5-2\sqrt6)=1$).

Los coeficientes de $C_i$ pueden ser definidas a partir de las condiciones de frontera.

Answer 2

Excepto para i = N e i = N +1, puede escribir la recursividad para un 4-vector $$\vec{v}_i=(di,d{i-1},\phii,\phi{i-1})^t$ $ y una matriz de 4 x 4 $A$. Escriba $d_i$ y $\phi_i$ en cuanto a los valores propios y vectores propios de $A$, luego ocuparse de las condiciones de límite en $0,N$ y $N+1$