¿Es$\Bbb Z_p^2$ un grupo de Galois sobre$\Bbb Q$?

Question

$\newcommand{\Q}{\Bbb P} \newcommand{\N}{\Bbb, N} \newcommand{\R}{\Bbb R} \newcommand{\Z}{\Bbb Z} \newcommand{\C}{\Bbb C} \newcommand{\A}{\Bbb} \newcommand{\ab}{\mathrm{ab}} \newcommand{\Gal}{\mathrm{Ga}} \newcommand{\prolim}{\varprojlim} $ Fijar un número primo $p$, y denotan por $\Z_p$ el grupo aditivo de $p$-ádico enteros.

¿Por qué no hay Galois de la extensión de $K/\Q$ tal que $\Gal(K/\Q) \cong \Z_p^2$ topológico grupos?

La respuesta es no, de acuerdo con un comentario en Temas de Teoría de Galois (segunda edición, pág. 16, justo antes de que el §2.2), por J.-P. Serre. Por Kronecker–Weber teorema, tenemos $\Gal(\Q^{\ab} / \Q) \cong \widehat{\Z}^{\times}$ (desde $\{\Q(\zeta_n) \mid n \geq 2\}$ es cofinal en el sistema directo de abelian extensiones de $\Q$), por lo que creo que mi pregunta hierve a demostrar que no es continua surjection $\widehat{\Z}^{\times} \to \Z_p^2$.

Observe que existe un continuo surjection $\widehat{\Z}^{\times} \to \Z_p$, a través de las proyecciones de $\widehat{\Z}^{\times} \to \Z_p^{\times} \cong (\Z / q \Z)^{\times} \times \Z_p \to \Z_p$ (donde $q=p$ si $p>2$ $q=4$ si $p=2$).

Comentarios : esto demostraría que el "infinito" inversa Galois problema está mal. Es cierto que cualquier profinite grupo es un grupo de Galois sobre algunas de campo (Waterhouse). Se espera (Hilbert–Noether conjetura) que cualquier finito grupo es un grupo de más de $\Q$ (fácil para un finito abelian grupos, Shafarevitch teorema para la solución de los grupos, mal para profinite abelian grupos). Fritos y Kollar mostró que cualquier grupo finito es el automorophism grupo de un cierto número de campo (no necesariamente de Galois sobre $\Q$).

Gracias!

Answer 1

De hecho, no hay un homomorfismo continuo de surjective$\hat{\mathbf{Z}}^\times\to\mathbf{Z}_p^2$ para ningún primer$p$%.

De hecho, tenemos$\hat{\mathbf{Z}}^\times\simeq\prod_p(\mathbf{Z}_p\times\mathbf{Z}/q_p\mathbf{Z})$. Cualquier homomorfismo en$\mathbf{Z}_p$ tiene que ser trivial en$\mathbf{Z}_\ell$ para cualquier$\ell\neq p$ y en$\mathbf{Z}/q_p\mathbf{Z}$ para todos$p$. Por continuidad, por lo tanto, los factores a través de$\mathbf{Z}_p$. Dado que no hay un homomorfismo continuo surjective$\mathbf{Z}_p\to\mathbf{Z}_p^2$, hemos terminado.

Answer 2

Esto es en realidad un CFT problema acerca de la $\mathbf Z_p$-extensiones de un número arbitrario de campo $K$. Una referencia conveniente largo será el capítulo 13 de Washinton del libro "Introducción a la cyclotomic campos".

Desde una $\mathbf Z_p$-extensión es unramified fuera de $p$, permítanos presentarle $K^{(c)}$ = compositum de todas las $\mathbf Z_p$-extensiones de $K$, e $K^{(p)}$ = la máxima abelian pro-$p$-extensión de la $K$ que es unramified fuera de $p$. Es conocido (véase más abajo) que $Y(K)=Gal(K^{(p)}/K)$ es un noetherian $\mathbf Z_p$-módulo, a decir de la fila $\rho$, cuyo máximo de torsión libre cociente es nada pero Gal$(K^{(c)}/K) \cong \mathbf Z_p^{\rho}$. El problema ahora es calcular los $\rho$.

Notaciones :

• $E(K)$ = grupo de unidades de $K$;

• $U^1(K_v)$ = grupo de unidades principales del campo local $K_v$ $\mathbf Z_p$- rango = $[K_v:\mathbf Q_p] $;

• $U^1(K)$ = producto directo de la $U^1(K_v)$'s para todos los $p$-lugares $v$$K$;

• $A(K)$ = $p$- grupo de clase de $K$.

La relación entre la semi-local y global CFT de $K$ se condensa en la siguiente secuencia exacta de $\mathbf Z_p$-módulos : $$E(K)\otimes\mathbf Z_p \to U^1(K) \to Y(K) \to A(K) \to 0.$$

El de la izquierda mapa es inducida por la diagonal de la incrustación; el medio es inducida por la Artin mapa, su imagen es la inercia de los subgrupos de $Y(K)$ comunes a todas las $p$-lugares de $K$; en el de más a la derecha del mapa, $A(K)$ es isomorfo al grupo de Galois de la $p$-Hilbert campo de la clase de $K$$K$.

Tomar la alternativa de la suma de los $\mathbf Z_p$-ocupa en esta secuencia exacta de inmediato da que $$\rho =\mathrm{rank}_{\mathbf Z_p}(Y(K)) =1+r_2+\delta(K),$$ where $r_2$ is the number of pairs of complex places of $K$, and the "Leopoldt defect" $\delta(K)$ is the $\mathbf Z_p$-rank of the kernel of the diagonal map above. The famous Leopoldt conjecture (proved for abelian fields by A. Brumer) asserts the nullity of $\delta(K)$. This shows in particular that $\rho = 1$ for $K = \mathbf Q$.

NB. Una prueba directa sin Brumer del teorema es posible para $K=\mathbf Q$: al $K$ es totalmente real, otro (quizás mejor conocido), la versión de Leopoldt la conjetura no es la desaparición de un cierto $p$-ádico regulador, y esto es, obviamente, para $\mathbf Q$.