Según el método descrito en ¿Cómo encontrar las asíntotas de una función implícita? procedí a encontrar las asíntotas de $$ x^3 + 3x^2y - 4y^3 - x + y + 3 = 0 $$
Mientras, genera correctamente la asíntota $$ y=x $$ la(s) asíntota(s) restante(s):- $$ 2y + x = ±1 $$ no se puede deducir.
En cambio, otra línea errónea $ y = 0 $ se emite.
Se agradecerá alguna ayuda.Los métodos alternativos de solución también funcionarían:)
Si la asíntota oblicua existe, podemos denotar $$k=\lim_{x \to \infty}\dfrac{y}{x}.$$
Entonces $$0=\lim_{x \to \infty}\left(1+3\cdot \frac{y}{x}-4 \cdot \frac{y^3}{x^3}-\frac{1}{x^2}+\frac{y}{x^3}+\frac{3}{x^3}\right)=1+3k-4k^3=-(k-1)(2k+1)^2.$$
Así, $$k=1,-\frac{1}{2}.$$
Entonces $$0=\lim_{x \to \infty} \frac{-4b^3-12b^2x-9bx^2+b+3}{x^2}=-9b.$$
Así, $$b=0.$$
Entonces $$0=\lim_{x \to \infty} \dfrac{-8b^3+12b^2x+2b-3x+6}{x}=12b^2-3.$$
Así, $$b=\pm \frac{1}{2}.$$
Como resultado, las asíntotas oblicuas son $$y=x, y=-\frac{x}{2}\pm \frac{1}{2}.$$
La pregunta no da detalles sobre cómo aplicar el método de ¿Cómo encontrar las asíntotas de una función implícita? , a este problema en particular. He aquí una aplicación de ese método:
En coordenadas homogéneas $(X:Y:Z)$ , donde $(x,y)$ corresponde a $(x:y:1),$ la ecuación es $$ X^3 + 3X^2Y - 4Y^3 - XZ^2 + YZ^2 + 3Z^3 = 0. \tag1 $$
En la línea del infinito, $Z = 0,$ que se puede encontrar en $$ X^3 + 3X^2Y - 4Y^3 = 0, $$ qué factores a $$ (X - Y) (X + 2 Y)^2 = 0.$$ Esto se resuelve con $X = Y$ o $X = -2Y,$ que dice que las asíntotas son de la forma $x = y + \text{constant}$ o $x = -2y + \text{constant},$ pero esto no dice cuáles son las constantes.
Siguiendo con el método de ¿Cómo encontrar las asíntotas de una función implícita? , la derivada del lado izquierdo de la ecuación $(1)$ es $$ (3X^2 + 6XY - Z^2)dX + (3X^2 - 12Y^2 + Z^2)dY + (2YZ - 2XZ + 9Z^2) dZ.\tag2 $$
Evaluar $(2)$ en $(X:Y:Z) = (1 : 1 : 0)$ produce $ 9 dX - 9 dY + 0dZ, $ a partir de la cual encontramos finalmente la asíntota $x = y$ (cuyo término constante es cero).
Pero la evaluación $(2)$ en $(X:Y:Z) = (-2 : 1 : 0)$ sólo da $0 dX + 0 dY + 0 dZ,$ de la que no podemos derivar la ecuación de una recta. (No está claro cómo has conseguido $y = 0$ .) Así que tenemos que encontrar las constantes que dan las líneas de asíntota de alguna otra manera.
Dando
$$ f(x,y) = x^3 + 3 x^2 y - 4 y^3 - x + y - 3 = 0 $$
las direcciones asintóticas se pueden explorar sustituyendo $ y = a x + b\;\; $ en $f(x,y)$ dando
$$ f(x,ax+b) = 3 x^2 (a x+b)-4 (a x+b)^3+a x+b+x^3-x-3 = (1+3a-4a^3)x^3+3b(1-4a^2)x^2 +(a(1-12b^2)-1)x+b(1-4b^2)-3 $$
Ahora las condiciones para $f(x,ax+b)$ para tener un comportamiento de línea son
$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3 b-12 a^2 b=0 \\ -4 a^3+3 a+1=0 \\ \end{array} \right. $$
y resolviendo encontramos dos soluciones:
$$ \{a =-\frac 12, \forall b\} \cup \{a = 1, b = 0\} $$
por lo que tenemos
$$ L_1\to y = x\\ L_2\to y = -\frac x2 + b $$
Considerando $f(x,y)$ en sus valores asintóticos su valor debe ser el mismo o
$$ \lim_{x\to 0}f(x,-\frac 12 x+b)=\lim_{x\to 0}f(x,x) = -3 $$
por lo que esto se puede resolver eligiendo $b$ tal que $1-4b^2 = 0\;\;$ dando
$$ L_1\to y = x\\ L_2\to y = -\frac x2 \pm\frac 12 $$
Adjunto un gráfico que muestra en azul $f(x,y) = 0$ y en rojo $L_1, L_2$
Gracias, pero un par de dudas.....En primer lugar, cuando resolvemos la primera ecuación que da como resultado a = +1/2 y -1/2 y/o b = 0.Del mismo modo, la segunda ecuación conduce a a = -1/2 y 1.....¿Cómo estamos rechazando a=1/2.....Y, por qué se calculará b eligiendo (1-4b^2)=0
$f(a,ax+b) = c_1 + c_2x+c_3x^2+c_4x^3$ por lo que las condiciones son $c_3=c_4=0$ . El valor $a = -\frac 12$ obedece simultáneamente $c_1=c_2=0$ y $a = \frac 12$ no lo hace.
En otras respuestas encontramos varias heurísticas que llevan a la conjetura de que existen asíntotas de la forma $$y= x+C\ , \qquad y=-{1\over2}x +C\ .$$ Por lo tanto, introducimos nuevas coordenadas $(u,v)$ en el plano de manera que sus direcciones se conviertan en las direcciones de los ejes: $$\left\{\eqalign{ u&=x+2y\cr v&=x-y\cr}\right.\qquad{\rm resp.}\qquad\left\{\eqalign{x&={u+2v\over3}\cr y&={u-v\over3}\cr}\right.\ .\tag{1}$$ La función dada aparece entonces como $$g(u,v)=f\left({u+2v\over3},{u-v\over3}\right)=3+(u^2-1)v\ .$$ La ecuación $g(u,v)=0$ es equivalente a $$v={3\over 1-u^2}\ .$$ En términos de $u$ y $v$ tenemos por tanto las dos asíntotas verticales $u=\pm1$ y la asíntota horizontal $v=0$ . Ahora se pueden expresar de nuevo en términos de $x$ y $y$ , utilizando $(1)$ .
$$x^3 + 3x^2y - 4y^3 - x + y + 3 = 0 \tag 1$$ Otra variante del método consiste en gastar $y(x)$ a series de la forma : $$y(x)\simeq ax+b+\frac{c}{x}+\frac{d}{x^2}+... \tag 2$$ Poniéndolo en la Ec. $(1)$ lo transforma en la forma : $$Ax^3+Bx^2+Cx+D+...\simeq 0 \quad\text{which implies}\quad A=B=C=D=…=0$$ donde $$A=1+3a-4a^3=0$$ $$B=3b-12ba^2=0$$ Etc. Pero no computamos inmediatamente $C$ , $D$ en el caso general porque esto será mucho más sencillo en cada caso particular.
Las raíces de $1+3a-4a^2=0=(1-a)(1+2a)$ son $a=1$ y $a=-\frac12$ .
Caso $a=1$ :
En este caso $B=3b-12ba^2=0$ implica $b=0$ Por lo tanto $y(x)\simeq x+\frac{c}{x}+\frac{d}{x^2}+...$ Poniéndolo en la Ec. $(1)$ conduce a : $$C=-9c=0\quad\text{thus}\quad c=0$$ $$D=3-9d=0\quad\text{thus}\quad d=\frac13$$ $$y(x)\simeq x+\frac{1}{3x}+...$$ Así, para $x\to\infty\quad \textbf{the straight line} \quad y=x\quad\textbf{is an asymptote.}$
Caso $a=-\frac12$ :
En este caso $B=3b-12ba^2=0$ se satisface cualquier $b$ Por lo tanto $y(x)\simeq -\frac12x+b+\frac{c}{x}+...$ Poniéndolo en la Ec. $(1)$ conduce a : $$C=6b^2-\frac32 x=0 \quad\text{thus}\quad b=\pm\frac12$$ $$D=3-4b^3+12bc+b=0\quad\text{thus}\quad c=\frac{4b^3-b-3}{12b}$$
Caso $a=-\frac12$ y $b=\frac12$ entonces $c=-\frac12$ : $$y(x)\simeq -\frac12x+\frac12-\frac{1}{2x}+...$$ Así, para $x\to\infty\quad \textbf{the straight line} \quad y=-\frac12x+\frac12\quad\textbf{is an asymptote.}$
Caso $a=-\frac12$ y $b=-\frac12$ entonces $c=\frac12$ : $$y(x)\simeq -\frac12x-\frac12+\frac{1}{2x}+...$$ Así, para $x\to\infty\quad \textbf{the straight line} \quad y=-\frac12x-\frac12\quad\textbf{is an asymptote.}$
Esta parece bastante bonita y la mejor de todas, sin ánimo de faltar al respeto a las otras respuestas....... En cualquier caso, ¿alguna pista sobre la expansión de y(x)?
A primera vista, parece agradable teniendo en cuenta la simplicidad del principio. ¡Pero es lejos de ser el método que requiere un mínimo de trabajo: muy simple cálculo de expansión y reordenamiento de la serie, pero bastante aburrido! Hay que poner la Ec. $(2)$ en la Ec. $(1)$ y reordenar los términos en orden decreciente de las potencias de $x$ .
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El problema con el método vinculado parece provenir del hecho de que $(X,Y,Z) = (2,-1,0)$ es un punto singular de la curva homogeneizada. Sin embargo, no estoy lo suficientemente familiarizado con las coordenadas proyectivas como para saber cómo evitar esto.