He encontrado en internet la afirmación de que el polinomio $x^3-5x$ es inyectiva en los números racionales, pero sin ningún comentario sobre cómo demostrarlo. Creo que significa que debe ser fácil, pero no veo cómo puedo demostrarlo. Me sale una expresión complicada, en la que no veo nada.
Respuesta
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Si $x^3 - 5x = y^3 - 5y$ con $x\neq y$ entonces $x^3-y^3 = 5(x-y)$ o $x^2+xy+y^2=5$ .
Resolución de $x$ en términos de $y$ :
$$x = \frac{-y\pm \sqrt{y^2-4(y^2-5)}}2$$
Así que $20-3y^2$ tiene que ser un cuadrado de un número racional. Esto equivale a encontrar soluciones enteras a $ 20q^2 - 3p^2= n^2$ con $(p,q)=1$ . Demuestra que esto no es posible $\pmod 5$ .
